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Taylor

Modifié (4 May) dans Analyse
Bonsoir,
Comment peut on monter en utilisant la formule de Taylor reste de Lagrange  à l'ordre 1 que : $$\forall x\in ]0,1[,\quad 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2<\sqrt{1-x}<1-\frac{1}{2}x.$$ Lorsque on applique la formule de Taylor reste de Lagrange  à l'ordre 1 au voisinage de 0 on obtient $$\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8(1-c)^{\frac{3}{2}}}x^2,$$  avec $c$ strictement compris entre $0$ et $x$, je n'arrive pas à avoir l'inégalité !
Merci de votre aide.

Réponses

  • Modifié (4 May)
    La minoration me semble fausse.
  • Oui : $(\frac{-1}{8} \; x^{2} - \frac{1}{2} \; x + 1)^2-(1-x)=\frac{1}{64} \; x^{4} + \frac{1}{8} \; x^{3}$.
  • C'est l'énoncé de l'exercice qui est faux ??
  • Oui, ce sont des choses qui arrivent. Des énoncés faux, ou complètement cons : dernièrement dans le livre Transmath 3ème il fallait calculer la hauteur d'une colline au mm près..
  • Merci pour votre aide, 
  • Modifié (4 May)
    Tu peux montrer que $\sqrt{1-x}>1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}$ mais il te faudra un peu plus précis que ton reste de Lagrange à l'ordre $1$.
  • Modifié (4 May)
    JLapin
    Si on développe jusqu'à l'ordre 2 (le reste sera à l'ordre 3) oui.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Ou bien on factorise la différence des carrés.
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