Dimension finie

Ce n'est pas si simple CCP j'ai bien fait de me prendre des exercices de ce niveau.
Merci, j'arrive mieux à raisonner par inclusion que directement sur les ensembles.
Soit $y \in \ker (w)$. Alors $y \in \ker (u+v) \cap \ker (u)$. Donc $u(y)=0$ et $(u+v)(y)=u(y)+v(y)=v(y)=0$.
Donc $\ker(w) \subset \ker(u) \cap \ker (v)$. Réciproquement, si $z \in \ker (u) \cap \ker (v)$ alors $u(z)=v(z)=0$ donc $(u+v) (z)=0$.
On a montré que $\boxed{\ker(w)= \ker (u) \cap \ker (v)}$
Soit $y \in Im(w)$. Alors il existe $x \in \ker(u+v)$ tel que $y=w(x)$. Mais alors $y=u(x)$. Comme $x \in \ker (u+v)$ on a $u(x)+v(x)=0$ donc $u(x)=- v(x)=v(-x)$ par linéarité.
Ainsi, $y =u(x)= v(-x)$ donc $y \in Im(u) \cap Im(v)$.  On a montré $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$.
Réciproquement, soit $z \in Im(u) \cap Im(v)$. Alors $z=u(x)$ et $z=v(y)$ avec $x,y \in E$.  Donc $u(x)=v(z)$. 
N'ayant pas réussi à démontré la réciproque, on peut simplement dire que $\boxed{Im(w) \subset Im(u) \cap Im(v)}$ donc $\dim Im(w) \leq \dim  Im(u) \cap Im(v)$. 
$\dim \ker (u+v) = \dim  \ker (u) \cap \ker (v) + \dim Im(w) \leq  \dim  \ker (u) \cap \ker (v)  +  \dim  Im(u) \cap Im(v)$. 
Ce qui donne $\boxed{\dim \ker (u+v) \leq \dim  \ker (u) \cap \ker (v)  +  \dim  Im(u) \cap Im(v)}$.

Merci, pour une fois que j'arrive à trouver un exercice avec 2 indications.