Transformée de Fourier d'une distribution à support compact vs discrète

Bonjour,$\def\mod{\;\mathrm{mod}\;}$
Je ne vois pas de lien avec les distributions à support compact (et je ne crois pas qu'il existe de lien satisfaisant). En revanche avec les distributions périodiques, si (ce qui est somme toute assez naturel pour du Fourier). Prenons les conventions $\hat u(n)=\dfrac1M\sum\limits_{k=0}^{M-1} u(k)e^{-2i\pi kn/M}$ et $\hat f(\xi)=\int f(x)e^{-2i\pi x\xi}\,\mathrm{d}x$. On peut associer à tout $ u\in\Bbb R^{\{0,\dots,M-1\}}$ la distribution $T_u :=\sum\limits_{k\in\Bbb Z} u(k\mod M)\,\delta_k$. Alors la transformée de Fourier de cette distribution est égale à $\widehat{T_u}=\sum\limits_{k\in\Bbb Z} \hat u(k\mod M)\,\delta_{k/M}$.

En effet, on a $\mathcal{F}\Big(\sum\limits_{n\in\Bbb Z}\delta_n\Big) =\sum\limits_{n\in\Bbb Z}\delta_n$ d'après la formule sommatoire de Poisson, donc $\mathcal{F}\Big(\sum\limits_{n\in\Bbb Z}\delta_{nM}\Big) =\dfrac1M\sum\limits_{n\in\Bbb Z} \delta_{n/M}$ puis $\mathcal{F}\Big(\sum\limits_{n\in\Bbb Z}\delta_{nM+k}\Big) =\dfrac1M\sum\limits_{n\in\Bbb Z}e^{-2i\pi kn/M} \delta_{n/M}$ et on conclut par combinaison linéaire.