<X,Y> indépendante de X

C'est plutôt essayer de prouver la propriété qui m'a pris plusieurs quarts d'heures, et je suis tombé sur le contre-exemple sans m'y attendre.
Mais je suis étonné que tu aies dit que ton raisonnement était "pénible" car je m'attendais à quelque chose de plus tortueux ou de plus technique. 

Ah ok. J'avais pensé que c'était celui-là.

$X$ et $Y$ sont des variables aléatoires donc des fonctions mesurables définies sur $\Omega$ de mesure $\mu(\Omega)=1$ à valeurs dans $E$ et $F$.
Soit $\mu_E(\cdot)=\mu( X^{-1}( \cdot))$. Et $\mu_F(\cdot)=\mu(Y^{-1}(\cdot))$. Soit $\mu_{E \times F}$ la mesure produit de $\mu_E$ et $\mu_F$.
Soit $I=\{(x,y) \in E \times F ~| \langle \alpha(x) , y \rangle=\langle x,\beta(y)\rangle \}$.
Alors $\mu_{E \times F}(I)=1$, car l'égalité est vraie presque partout.
Soit $A_y=\{x \in E ~| (x,y) \in I \}= \{ x~ | \langle \alpha(x), y\rangle= \langle x, \beta(y) \rangle\}$.
Alors,$ \mu_E(A_y)=1$ pour presque tout $y$ de $F$ (je peux détailler).
Supposons construit $y_1, \ldots, y_k \in F$ tels que $(y_1, \ldots, y_k)$ est une famille libre et $\mu_E(A_{y_i})=1$ pour tout $i=1, \ldots, k$.
Soit $F_1= \mathrm{ Vect}(y_1, \ldots, y_k)$. Si pour tout $z \in F \setminus F_1$, on a $\mu_E(A_z)<1$, alors, comme $\mu_E(A_y)=1$ pour presque tout $y \in F$, on a donc $\mu_F(F \setminus F_1)=0$, donc $Y$ est concentré dans $F_1$. Donc on peut prolonger la famille $(y_i)_{i=1, \ldots, k}$ par $y_{k+1}$ tant que $F_1 \neq F$.
Donc il existe une base $(y_i)_{i=1, \ldots, p}$ de $F$ telle que $\mu_E(A_{y_i})=1$ pour tout $i=1, \ldots, p$.
Donc $\mu_E(\cap_i A_{y_i})=1$.

Soit $B_x=\{y \in F~ |(x,y) \in I\}$.
$\mu_F(B_x)=1$ pour presque tout $x$ de $E$.
Supposons construit $x_1, \ldots, x_k \in E$ famille libre telle que que $x_i \in A:=\cap_{j=1}^p A_{y_j}$ et $\mu_F(B_{x_i})=1$ pour tout $i=1, \ldots, k$.
Soit $E_1= \mathrm{ Vect}(x_1, \ldots, x_k)$. Si $E_1 \neq E$, et si pour tout $z \in (E \setminus E_1) \cap A$, on a $\mu_F(B_z)<1$, alors $ \mu_E(( E \setminus E_1) \cap A)=0$. Or $\mu_E(A)=1$, donc $\mu_E(E \setminus E_1)=0$, donc $X$ est concentré dans le sous-espace affine $E_1$, ce qui est contraire aux hypothèses. Donc on peut prolonger la famille $(x_i)_{i=1, \ldots, k}$.

Donc il existe $(x_1,  \ldots, x_n) \in E^n$ une base de $E$ et $(y_1, \ldots, y_p) \in F^p$ une base de $F$, telles que $x_i \in A_{y_j}$ (ce qui est équivalent à $y_j\in B_{x_i}$) et tels que $\mu_F(B_{x_i})=1$ et $\mu_E(A_{y_j})=1$ pour tout $i,j$.

Maintenant, soit $C$ l'application linéaire telle que $C(x_i)= \alpha(x_i)$ pour tout $i$.
$\mu_E(A)=1$ donc pour presque tout $x$ de $E$, pour tout $j$, $\langle \alpha(x), y_j\rangle= \langle x, \beta(y_j) \rangle$. Soit $x= \sum \lambda_i x_i$ l'écriture de $x$ dans la base $(x_i)$, alors $\langle \alpha(x),y_j \rangle= \langle x, \beta(y_j) \rangle=\sum \lambda _i \langle x_i, \beta(y_j) \rangle=\sum \lambda_i \langle \alpha(x_i), \beta_j \rangle$.
Donc $\langle \alpha(x)-C(x) , y_j\rangle=0$ pour tout $j$ donc comme les $(y_j)$ forment une base, $\alpha(x)=C(x)$ (pour presque tout $x$ de $E$).

De même $\beta (y)=D(y)$ pour presque tout $y$ de $F$, avec $D$ linéaire et $C^* =D$