Bonjour J'étudie le cours de MP sur les séries et j'ai une question sur le cas $k=0$ il se passe quoi ? Ce cas me pose problème car ça me bloque aussi pour comprendre le cas $\ell =1$ ...
@Oshine : Ne cherche pas à comprendre les indications données (même si elles sont pertinentes et parfaitement exactes). Cherche plutôt à démontrer que le résultat énoncé est bien vrai lorsque $k=0$ et rédige ta preuve ici. Cela te sera beaucoup plus utile.
Soit $(u_n)$ une suite strictement positive. On doit montrer que si à partir d'un certain rang $u_{n+1} / u_n \leq 0$ alors $\sum u_n$ converge. C'est une implication logique $P \implies Q$ qui équivaut à $NON(P) \ ou \ Q$.
Supposons qu'à partir d'un rang $N$ on ait $u_{N+1} /u_N \leq 0$ alors $u_{N+1} \leq 0$ ce qui contredit le fait que $\forall n \in \N \ \ u_n>0$. L'implication logique est donc vérifiée car $P$ est faux.
Tu avais donc raison de douter de ton livre car ce n'est pas la proposition 8 qu'il faut utiliser dans ce cas, puisqu'elle ne s'applique pas... mais ce cas est trivial car impossible.
Certes, on ne peut pas diviser par $0$, mais la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la proposition 8, c'est parce qu'elle s'applique à des suites $u$ et $v$ qui sont strictement positives à partir d'un certain rang, ce qui n'est pas le cas de la suite $v:n\mapsto k^n$ lorsque $k=0$.
On dit qu'une propriété ne s'applique pas lorsque ses hypothèses ne sont pas vérifiées.
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Soit $(u_n)$ une suite strictement positive.
On doit montrer que si à partir d'un certain rang $u_{n+1} / u_n \leq 0$ alors $\sum u_n$ converge. C'est une implication logique $P \implies Q$ qui équivaut à $NON(P) \ ou \ Q$.
Supposons qu'à partir d'un rang $N$ on ait $u_{N+1} /u_N \leq 0$ alors $u_{N+1} \leq 0$ ce qui contredit le fait que $\forall n \in \N \ \ u_n>0$.
L'implication logique est donc vérifiée car $P$ est faux.