Homographies et propriétés
Bonjour à tous !
Merci encore de prêter une nouvelle attention à cette préoccupation !
Dans mon cours, lors de l'étude du comportement de certaines homographies, on a le résultat que toute homographie est entièrement déterminée par la donnée de 3 points distincts. J'aimerais savoir si ayant un sous-ensemble $A$ de $\mathbb{Q}$ de cardinal strictement plus grand que $3$, on peut construire une homographie à coefficients rationnels rendant $ A $ invariant. Si oui quel peut bien être l'algorithme ?
J'aimerais aussi comprendre cette pensée de notre enseignant disant qu'on peut déduire du cas particulier $ A=\{0,1,-1\}$ une réponse à cette question en utilisant les conjugaisons. Je ne comprends pas très bien la portée de cette pensée.
Aussi s'il existe des références qui peuvent m'apprendre davantage je serai très heureux de les avoir.
Merci.
Merci encore de prêter une nouvelle attention à cette préoccupation !
Dans mon cours, lors de l'étude du comportement de certaines homographies, on a le résultat que toute homographie est entièrement déterminée par la donnée de 3 points distincts. J'aimerais savoir si ayant un sous-ensemble $A$ de $\mathbb{Q}$ de cardinal strictement plus grand que $3$, on peut construire une homographie à coefficients rationnels rendant $ A $ invariant. Si oui quel peut bien être l'algorithme ?
J'aimerais aussi comprendre cette pensée de notre enseignant disant qu'on peut déduire du cas particulier $ A=\{0,1,-1\}$ une réponse à cette question en utilisant les conjugaisons. Je ne comprends pas très bien la portée de cette pensée.
Aussi s'il existe des références qui peuvent m'apprendre davantage je serai très heureux de les avoir.
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Réponses
L'algorithme est assez simple, il suffit de prendre $z \mapsto z$
Pour tout $A$, il existe une homographie qui fixe globalement $A$ ssi il existe $B$ et deux involutions distinctes (l'une pouvant être l'identité) qui envoient $A$ sur $B$.
Pourquoi ? Parce que toute homographie est produit d'au plus deux involutions.
Puis je avoir une idée de preuve de votre dernière assertion : Toute homographie est produit d'une ou deux involutions !
Quitte à conjuguer, on peut supposer que $f$ n'est pas affine.
Soit alors $a\neq b$ tels que $f(a)=\infty$ et $f(\infty)=b$. On pose $c:=f(b)$.
Sois $s$ la symétrie qui échange $a$ et $b$ et $g$ l'involution de pôle $a$ qui envoie $b$ sur $s(c)$.
$f$ et $s\circ g$ coïncident en $a,\infty,b$ donc elles sont égales.
$f$ est donc le produit de deux involutions.