Polynôme irréductible dans un corps fini

Réponses

• raoul.S

  April 2022 Modifié (April 2022)

  Car tout élément de $\mathbb{F}_4\setminus \mathbb{F}_2$ est de degré 2 sur $\mathbb{F}_2$ (son polynôme minimal est de degré 2). Ceci entraîne que ton polynôme irréductible de degré 4 ne peut pas avoir de racines dans $\mathbb{F}_4$ donc il est forcément produit de deux polynômes irréductibles de degré 2.
• Blanc

  April 2022

  Bonjour Raoul,
  
  Je te remercie pour ton explication et aussi de tes aides si précieuses que tu m'apportes bien souvent.
• Blanc

  May 2022 Modifié (May 2022)

  Bonjour
  Merci de me proposer votre aide à partir de la phrase en rouge.
  

  

  [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
• Blanc

  May 2022

  Une erreur de ma part a fait que j'aurais dû écrire dés le début:
  
  Nos nous proposons d'établir qu'il y a six polynômes irréductibles  unitaires de degré 4 de F2 sans passer par l'exploration systématique des 16 polynômes de degré 4 de F2.
• MrJ

  May 2022 Modifié (May 2022)

  Le polynôme $Q$ est nécessairement un des trois écrits au début.
  
  

  Réciproquement, chacun de ces trois polynômes se décompose sur $\mathbb{F}_4$ en un produit de deux polynômes irréductibles de degré $2$ sur $\mathbb{F}_4$. Comme les trois polynômes sont premiers entre eux deux à deux (car ils sont irréductibles sur $\mathbb{F}_2$), leurs facteurs irréductibles sur $\mathbb{F}_4$ fournissent bien 6 polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_2$.
• Blanc

  May 2022 Modifié (May 2022)

  Merci de ta réponse.