Une équation symétrique

[Utilisateur supprimé] · April 2022

Je crois que l'explication de @Foys : " $\{x+y*(j,j^2,j^3)\vert x,y\in \mathbb C \}$ est l'ensemble des triangles équilatéraux de $\mathbb C$ " et une bonne connaissance sur les polynôme symétriques permettrait de prouver que l'équation de départ définit l'ensemble des triangles équilatéraux de $\mathbb C$.
Il faut que j'aille voir un cours sur les polynômes symétriques.

Édit : je manque de familiarité avec les polynômes symétriques.

gai requin · May 2022

@Igbinoba : Façon théorie des nombres.
Soit $\zeta_6$ l'une des deux racines 6-ièmes primitives de l'unité.
Alors, pour tous complexes $a,b,c$ deux à deux distincts,$$\begin{align*}a,b,c\text{ sont les affixes de trois sommets d'un triangle équilatéral }&\Leftrightarrow\frac{b-a}{c-a}\in\{\zeta_6,\overline{\zeta_6}\}\\&\Leftrightarrow\frac{b-a}{c-a}\text{ est racine de }\phi_6(X)=X^2-X+1\\&\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\text{ (après calculs).}\end{align*}$$

[Utilisateur supprimé] · May 2022

@gai requin

Merci.

gai requin · May 2022

@Igbinoba : Tiens, si cela t'intéresse, dans la même veine, il y a ce message passé dans l'indifférence générale où votre serviteur montre dans la pure tradition intuitionniste (@Foys

) qu'un polygone régulier à sommets rationnels est nécessairement un carré.

Foys · May 2022

@gai requin requin Si on ne s'y investit pas, il est naturel de penser qu'on ne peut rien faire sous les contraintes intuitionnistes. Après quelques temps passés sur COQ une toute autre image se dessine. Des mathématiciens ont bien fait carrière sur ce sujet (Bishop, Lombardi ...).

gai requin · May 2022

Et aussi Claude Quitté

Ludwig · May 2022

Pour l'adjectif scalène le TLF renvoie au livre Pratique de la géométrie (1542) de Charles de Bovelles :

Une équation symétrique

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Bonjour!

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