Hyperplans stables et diagonalisabilité
Titre initial : $n$ hyperplans stables par $ f \Rightarrow f $ diagonalisable
[Le corps du message est là pour détailler. AD]
Bonjour
J'aimerais répondre à la question suivante en utilisant un argument de dualité.Soit $f \in L(E)$. Sil existe $n$ hyperplans $H_1,\dots, H_n$ stables par $f$ d'intersection nulle, alors $f $ [est] diagonalisable.
Mon idée est de dire que $H_i=\ker(\Phi_i)$ où $\Phi_i \in E^*$ non nulle, donc du coup j'aimerais montrer que les $\Phi_i$ forment une base de vecteurs propres (peut-être de la transposée de $f$, vu que $f$ et sa transposée ont le même polynôme caractéristique) mais je ne sais pas trop comment faire...
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Réponses
À partir de ça, tu devrais trouver $n$ droites stable par $^t\!f$ et conclure à l'aide d'un argument que tu évoques.
Mais comment montrer que les $\Phi_i$ sont stables par $\;^t\! f$ et que la famille des $\Phi_i$ est libre ?
@Borelline, j'aimerais ton avis, j'ai reformulé ton expression plus haut, est-ce que l'expression suivante est claire et intuitive :
$\bigcap \big\{ \{ \phi \in E^*\mid \phi x = 0\} \mid x\in F\big\}$
Une autre formulation $\bigcap \big\{ \{ \phi \in E^*\mid x \in \ker (\phi) \} \mid x\in F\big\}$
Une autre formulation
$\bigcap \{ \ker(x) \mid x\in F\}$ (en identifiant chaque élément de $E$ avec son image par le plongement canonique $E$ dans son bidual).
Sinon, je crois que l'énoncé suivant est vrai (mais peut-être seulement pour des formes réelles ? J'ai vu ça dans un cours où il y avait du Hahn-Banach partout) : soit $\Phi$ un ensemble fini de formes linéaires, et $\psi$ une forme linéaire. Alors $\psi \in vect \Phi$ si et seulement si $\bigcap_{\phi \in \Phi} \ker \phi \subset \ker(\psi)$.
EDIT : Ah oui, bien vu, @gai requin !
Édit. En supposant que $n$ est le rang de $\{ \Phi _i \}$ (Mais j'attends toujours ma preuve pour la formule définissant les triangles de $\mathbb C$)
On a $\dim(\bigcap \{\ker (\Phi _i) \mid 0<i<n+1 \} )= \dim(E)-\mathrm{rang} (\{ \Phi _i \mid 0<i<n+1 \})$
Donc $\dim(E)=\mathrm{rang} (\{ \Phi _i \mid 0<i<n+1 \})$.
Il n'est pas sûr que $\{ \Phi _i \mid 0<i<n+1 \}$ soit libre, mais il est générateur du dual de $E$.
De rien, de la part de tout le monde.