Inverse d'une fonction analytique
J'ai la définition suivante d'une fonction analytique sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$: $f$ est analytique sur $U$ si pour tout $z_0$ in $U$, il existe $r>0$ avec $D(z_0,r)\subset U$ et il existe une suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ de $\mathbb C$ tels que pour tout $z\in D(z_0,r)$, $f(z)=\sum_{n\ge0}a_n(z-z_0)^n$.
Supposons que $f$ ne s'annule pas sur $U$. Je voudrais montrer <<à la main>> que $1/f$ est analytique sur $U$.
Sur $D(0,r)$, on a ($a_0\ne0$ puisque $f(z_0)\ne0$)
$$f(z)=\frac1{a_0\left(1+\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{a_0}(z-z_0)^n\right)}$$
Mais comme je n'arrive pas à voir que la somme $\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{a_0}(z-z_0)^n$ est de module $<1$, je suis bloqué.
Si quelqu'un sait comment on termine...
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