Apprendre le contrôle optimal stochastique

zestiria · April 2021

Bonjour
Je voudrais apprendre le contrôle optimal stochastique et le thème des Mean Field Games.
Par où est-ce que je pourrais commencer ?

J'ai suivi un cours de calcul stochastique.
J'ai des lacunes sur :
- les équations différentielles ordinaires (EDO)
- les équations aux dérivées partielles (PDE)
- j'ai entendu parler de la théorie des distributions.
J'imagine qu'il faut aussi travailler sur du contrôle optimal (sans aléatoire).

Par exemple, les étudiants du master de finance d' Oxford ont un cours de 15h, et après, certains se lancent dans une thèse.
Quels livres est-ce que vous me conseillez ? D'ailleurs, est-ce qu'un livre est si utile? Jusqu'en M1 ou M2, il y a des cours ( cours + exercices corrigés) pour apprendre, et après, il y a des livres qui sont ardus d'accès.

L'objectif serait d'arriver à lire des articles de recherche comme ceux de ce chercheur.
Merci,

Titus · April 2021

Bonjour,

Il y a un master sur le sujet à l'UPMC(Maths pour la modélisation), à Dauphine et aussi à Orsay il me semble. Vous pourriez regarder de ce côté-là et visiter la page des enseignants qui y dispensent des cours pour y trouver éventuellement des documents. Voici par exemple un PDF du cours de contrôle optimal enseigné dans le master de l'UPMC : https://www.ljll.math.upmc.fr/~trelat/fichiers/livreopt.pdf
Je n'ai pas plus d'informations.

zestiria · April 2022

Est-ce que vous auriez des références orientées vers le contrôle optimal stochastique appliqué à la finance ?
J'ai suivi un cours de calcul stochastique et il y a un écart encore pour arriver à suivre les livres par exemple de
https://www.amazon.fr/Algorithmic-High-Frequency-Trading-Álvaro-Cartea/dp/1107091144/ Alvaro Cartea
https://www.amazon.fr/Financial-Mathematics-Market-Liquidity-Execution/dp/1498725473 Olivier Gueant
http://www.cmap.polytechnique.fr/~touzi/polymap361.pdf Nizar Touzi

Quelle est la syntaxe pour mettre en forme les liens url ?

Barjovrille · April 2022

Bonjour,

si tu veux faire du contrôle optimal stochastique,

Je pense qu'il faut d'abord faire du contrôle optimal "classique" (ce n'est pas parce que l'un est plus dur que l'autre, les deux sont des domaines assez exigeant, mais c'est plus pour comprendre le principe du contrôle optimal, et en contrôle optimal, stochastique ou pas, il y a un théorème central c'est le principe du maximum de Pontryagin) pour ça le lien donné par Titus est très bien il y a beaucoup d'exercices et des exemples pour illustrer les notions, mais il est plus orienté dimension finie, contrôle des EDO, il y a quelque ouvertures sur la dimension infinie et le contrôle des EDP.

Pour faire du contrôle optimal "classique" il faut bien connaître la théorie des EDO théorème de Cauchy Lipschitz, lemme de Gronwall... pour ça tu trouveras tout ce qu'il faut dans des livres d'analyse de niveau licence.

Après il faut avoir des notions sur la théorie des EDP, pour ça il y a un assez gros pré requis c'est l'analyse fonctionnelle je ne connais pas trop ton niveau mais avant d'attaquer l'analyse fonctionnelle il faut des solides bases en topologie, en algèbre linéaire et en analyse niveau licence.

Si tu as déjà le niveau pour les trois domaines que je viens de citer, tu peux étudier l'analyse fonctionnelle sur le livre de Brezis c'est une très grosse référence, mais si il y a bien quelque chose ou tu ne dois pas faire l'impasse pour les EDP et le contrôle optimal c'est l'analyse fonctionnelle.

Une fois que tu as de bonnes bases en analyse fonctionnelle, tu peux commencer les EDP.

Bon la c'est un peu plus dur de te conseiller sur ce qu'il y a à savoir c'est un domaine très actif de la recherche donc la théorie est en cours de construction et apprendre une théorie en cours de construction c'est plus dur (logique) qu'une théorie âgé où tous les énoncés/propriétés/théorèmes sont optimisés et tout propres.

Et il y a plusieurs type d'EDP (elliptique, hyperbolique...).

Mon conseil (c'est subjectif) c'est de commencer par apprendre les EDP elliptiques c'est la plus vieille branche des EDP, et les opérateur elliptiques apparaissent un peu partout, donc c'est peut être le plus rentable. Mais bon tu peux voir d'autre type d'EDP si tu veux le but c'est de comprendre la "philosophie" des études des EDP, comment on étudie l'existence, l'unicité, la régularité des solutions, les notions de solutions faibles/fortes ...

Et comme ça tu seras assez confortable pour lire des papiers scientifique.

Pour les edp elliptiques tu as par exemple ce livre.

https://www.amazon.com/Elliptic-Differential-Operators-Monographs-Mathematics-ebook/dp/B07QQV1P5C

Il y a beaucoup de pré requis mais c'est un peu normal le contrôle optimal et les EDP sont des matières en fin de cursus de maths et elles mobilisent quasiment tout le temps toute l'analyse depuis le début des études supérieures.

Pour la partie stochastique, je ne suis pas expert du contrôle optimal stochastique mais à mon avis c'est plus un domaine d'analyse qui à une intersection non vide avec les probabilités. Je pense que tu dois être à l'aise avec la construction du mouvement brownien et quelques unes de ses propriétés, dimension 1, dimension finie et ( peut être dimension infinie)(ce qui n'est déjà pas facile). Avec ça tu peux déjà te débrouiller.

Encore une fois je ne connais pas ton niveau peut être que j'ai mis trop ou pas assez de détails.

Bon courage.

edit : pour le mouvement brownien je voulais dire construction de l'intégrale d'Itô et pour la dimension infinie si jamais un jour t'en a besoin c'est les processus de Wiener cylindriques il me semble que c'est utile en équations différentielles stochastiques et EDP stochastiques.

zestiria · April 2022

Je vais préciser :
1) Mon objectif
2) Ce que je sais faire

1) Mon objectif
c'est arriver à lire des articles comme ceux
en mathématiques financières en éxécution optimale comme
https://arxiv.org/pdf/2103.13773.pdf où on parle toujours de l'équation d'Hamilton Jacobi
https://arxiv.org/pdf/2203.13053.pdf avec des mean field games
https://arxiv.org/pdf/1908.03281.pdf Cartea
2) Ce que je sais faire
niveau L3 : je connais les EDO linéaires, j'ai vu la méthode de la variation de la constante, un cours de topologie
niveau M1 :
- je suis juste le début du cours d'analyse réelle https://webusers.imj-prg.fr/~jean.saint-raymond/4M003.html
- je dois reprendre toute la théorie des distributions, les espaces de Sobolev, la topologie, étoile étoile (?)
- je ne connais pas du tout les EDP
- j'ai commencé à lire https://www.ceremade.dauphine.fr/~carlier/progdyn.pdf
niveau M2 : j'ai fait un cours de calcul stochastique
C'est vrai qu'il manque les bases en contrôle optimal déterministe comme le principe du maximum de Pontryagin.

Barjovrille Merci pour ta réponse, je vais être patient et commencer par le début.

Barjovrille · May 2022

Ok je vois un peu,

j'ai parcouru vite fait ton cours d'analyse, il est bien il aborde tout les thèmes importants avec même un peu de compléments donc tu peux y aller.

Et dans les articles on dirait qu'il y a beaucoup de notion de proba mais, si tu maitrises bien les cours d'analyse et analyse fonctionnelle tu remarqueras qu' il y a certaines notions en proba c'est juste en fait de l'analyse appliqué à des espaces proba ou mesures. exemple : tu retrouveras les espaces $L^p$ en proba avec la norme adapté, tu peux faire un lien entre la convergence en loi et la convergence pour la topologie faible, les fonctions caractéristiques et les transformée de Fourrier... donc réviser l'analyse ça fait réviser les proba en même temps (mais attention ça ne fais pas tout non plus).

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