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Comatrice

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Réponses

  • Modifié (28 Apr)
    En fait ce résultat semble évident quand on représente un ouvert et une boule incluse sur un dessin.
    Rakam oui c'est vrai mais on l'utilise plus rarement dans les exercices la définition avec les voisinages.
  • La généralisation « voisinage » sort de L1-L2 où l’on regarde essentiellement des espaces métriques. 
    Sauf erreur, dites-moi tout. 
  • jmfjmf
    Modifié (28 Apr)
    @OShine

    Je te pose une question simple sur les comatrices.
    Quelles sont les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\text{Com}(A)=A$?
  • Modifié (28 Apr)
    J'ai vu la généralisation de voisinage dans le cours de MP sur les espaces vectoriels normés, mais ne l'ayant jamais utilisé en exercice, j'ai oublié.
    @jmf je me méfie quand tu dis que les questions sont simples.
    Supposons $n \geq 2$.
    On a : $A (Com(A))^T = \det (A) I_n$. Or $Com(A)=A$. Alors $\boxed{ A A^T = \det (A) I_n}$.
    • Si $\det(A)=1$, alors l'ensemble des solutions sont les matrices orthogonales.
    Soient $(i,j) \in [|1,n|]^2 \ \ [A A^T]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik} a_{jk}= \det( A) \delta_{ij}$. (ça ne donne rien).
    En passant au déterminant, on a $\det (A A^T)= \det (  \det (A) I_n )$
    Donc $\det( A) \det( A^T)= \det(A)^n \det( I_n)$. Ainsi, $\boxed{\det(A)^2 = \det(A)^n}$
    Si $\det(A)=0$, alors $ A A^T =0$ ...
    Si $\det(A) \ne 0$ alors $\det(A)^{n-2} =1$.
    • Si $n$ est pair alors $n-2$ est pair et donc $\det(A)=1$. L'ensemble des solutions sont les matrices de déterminant $1$.
    • Si $n$ est impair alors $n-2$ est impair et donc $\det(A)= \pm 1$. L'ensemble des solutions sont les matrices de déterminant $ \pm 1$.
  • jmfjmf
    Modifié (28 Apr)
    Il y a des parties à sauver dans ce que tu dis, mais c'est gâché par des erreurs --disons-- de logique.

    Quand tu dis "Or $\text{Com}(A)=A$, par exemple..., ça veut dire que tu procèdes par conditions nécessaires (mais alors il faudra procéder à une vérification finale?) ce que confirme ton "Alors $AA^\top=\det(A)I_n$".

    Ensuite tu introduis l'hypothèse supplémentaire "Si $\det(A)=1$", et sous cette hypothèse (aucunement justifiée à ce stade, pourquoi ne pas choisir $\det(A)=36$ par exemple) tu en déduis que "l'ensemble des solutions sont les matrices orthogonales.". L'ensemble des solutions de quoi? du problème initial? du problème initial augmenté de ta condition $\det(A)=1$?

    Après ça, on ne comprend plus le plan de ta démonstration...
    Bref, ce qu'il manque ici, c'est un vrai plan, au lieu d'idées jetées à la va-vite.


    Je t'explique comment j'aborderais cet exercice, à ta place.

    D'abord si $n=1$, toutes les matrices $A$ de $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ vérifient $A=\text{Com}(A)$.

    Si $n=2$, on pose $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Alors $\text{Com}(A)=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}$.
    Dans ce cas $A=\text{com}(A)\Leftrightarrow \begin{cases}d=a\\ c=-b\end{cases}\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$.

    On va donc supposer $n\ge3$.

    On sait des choses sur le rang de la comatrice (c'est ton exercice initial).

    Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On va discuter suivant le rang de $A$.

    1) Si $A=0$, on a bien $A=\text{Com}(A)$ (ça nous fait une solution évidente, que tu ne trouvais pas, d'ailleurs)

    2) Si $1\le \text{rg}(A)\le n-2$, alors $\text{Com}(A)=0$, donc $A\ne \text{Com}(A)$.

    3) Si $\text{rg}(A)= n-1(\ge2)$, alors $\text{rg}(\text{Com}(A))= 1$. donc $A\ne \text{Com}(A)$.

    4) Il ne reste plus qu'à considérer les éventuelles solutions inversibles de $A=\text{Com}(A)$.

    Tu peux rédiger le point 4?
  • D'accord merci je vais réfléchir et refaire une preuve rigoureuse. 
  • Modifié (28 Apr)
    Je n'avais pas pensé à utiliser le rang.
    Supposons que $rg(A)=n$  donc $Com(A)$ est inversible. On a la condition nécessaire $A A^T = \det(A) I_n$ avec $\det(A) \ne 0$.
    • Si $\det(A)>0$ alors  $\left( \dfrac{1}{ \sqrt{ \det (A)} }  A \right) \left(\dfrac{1}{ \sqrt{ \det (A) }} A^T \right)= I_n$.
    Ainsi, la matrice $ \dfrac{1}{ \sqrt{ \det (A)} }  A $ est orthogonale.
    • Si $\det(A)<0$ alors je ne vois pas.
  • @jmf
    Voyant différents sujets sur les comatrices, je suis allé voir Wikipédia pour avoir la définition.
    Et je lis : 
    La comatrice de toute matrice de taille $(1,1)$ est la matrice identité $I_1 = (1)$.

    Or, tu dis que pour toute matrice de taille $(1,1)$, $com(A)=A$ 
    Qui a raison ?
  • Modifié (28 Apr)
    Je suis aussi d'avis que $\forall A \in M_1(\mathbb{K}),\  com(A) = I_1$ (je n'avais fait gaffe qu'en dimension 1, $com(A)$ était toujours de rang 1...).
    En effet, l'unique terme de $com(A)$ est formellement $(-1)^{1+1}\sum\limits_{\sigma \in S_0} \prod\limits_{i=1}^0 a'_{i,\sigma(i)} = 1$.
    C'est beau les maths !
  • jmfjmf
    Modifié (28 Apr)
    @lourran

    Mea culpa, mea maxima culpa !

    Ingemisco, tamquam reus.
    culpa rubet vultus meus.
  • Encore un exercice dont je ne vois pas le bout du tunnel.
  • Ça s'appelle un puits. 
  • Modifié (30 Apr)
    @Dom : les espaces métriques, c'est après la L2. Ceci dit, même dans les normés de la L2, la plupart des cours donnent une ouverture qui prépare à la topologie générale parlant d'union d'ouvert, etc., et expliquant comment reformuler la convergence en termes topologiques.

    @Oshine : "En fait ce résultat semble évident quand on représente un ouvert et une boule incluse sur un dessin." Comme déjà dit : ce n'est pas un résultat, c'est une définition.
  • Magnéthorax a dit :
    Comme déjà dit : ce n'est pas un résultat, c'est une définition.
    Au niveau où si situe OShine ce n'est pas une définition mais bien un résultat. Généralement on étudie d'abord les espaces métriques/normés et ce n'est que dans un deuxième temps qu'on dégage la notion de topologie.

    Donc toutes les notions de convergence, continuité & Co sont d'abord vues dans les espaces métriques/normés. Puis on se rend compte qu'en fait ce sont des notions topologiques etc. Pédagogiquement c'est comme ça qu'on procède d'habitude et personnellement je trouve que c'est une bonne chose.
  • Oui j'ai déjà vu cette définition (dans le cours sur les espaces vectoriels normés), mais je ne l'ai jamais pratiquée sur des exercices. 
  • Modifié (30 Apr)
    Les solutions inversibles de $Com(X)=A$ sont :
    • $X=(\det A)^{1 / (n-1)} (A^{-1})^T$ si $n$ est pair.
    • $X=\pm (\det A)^{1 / (n-1)} (A^{-1})^T$ si $n$ est pair.
    Mais je ne vois pas comment trouver les matrices inversibles qui vérifient $Com(A)=A$.
  • Modifié (30 Apr)
    @raoul.S : c'est un exo de l'agreg docteur qu'a choisi @OShine. Ma remarque a pour but d'attirer l'attention sur le fait (évident) que choisir un énoncé nécessite de connaître le programme sous-tendu afin d'éviter de tomber de l'armoire à la moindre allusion au cours. Le niveau de référence en topologie est ici L3-M1, pas L2.
  • C'est un exercice agreg docteur, mais il me semble qu'il n'utilise que des connaissances de L1-L2 classes préparatoires.
  • @OShine il me semble que le programme de l' agreg docteur et le programme de l' agreg tout court sont exactement les mêmes. Les candidats aux deux concours suivent les mêmes cours de prépa agreg.
  • Modifié (30 Apr)
    @OShine : mais bien sûr ! Pour autant, ça ne veut pas dire que le public visé est celui-là. Je peux t'en sortir des énoncés "qui n'utilisent que des connaissances L1-L2" et qui sont infaisables pour des Bac+1 ou +2.
  • @Magnéthorax ah ok je n'avais pas compris que c'était un exo agreg. Oui dans ce cas...
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