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Problème de Cauchy

vwvw
Modifié (April 2022) dans Analyse
Salut,
$X$ espace de Hilbert.
Soit $\mathcal{A}:D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ et $f:[0,T]\rightarrow X$
Quelle est la différence entre
$$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases} \qquad\text{et}\qquad \begin{cases}U_{t}(t) \in \mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases}$$ où, $U_t$ est la dérivée de $U$ par rapport à $t$.

Réponses

  • gerard0gerard0
    Modifié (April 2022)
    Bonjour.
    Tout dépend de qui est $\mathcal{A}$. Et tu ne l'as pas dit ...
    Cordialement.
    NB : Je ne comprends pas non plus qui est $A$. Est-ce le nom d'une inclusion ?
  • vwvw
    En fait, j'ai oublié d'écrire la commande \mathcal avant le A. j'ai rectifié l'énoncée. 
  • gerard0gerard0
    Modifié (April 2022)
    Il reste encore des problèmes (par exemple, c'est sans doute $D(\mathcal A)$), mais en tout cas, je ne comprends pas d'où pourrait sortir le symbole d'appartenance si l'inconnue $U$ est bien une application de $[0,T]$ dans $X$.
    Cordialement.
  • BarjovrilleBarjovrille
    Modifié (April 2022)
    Bonjour dans le deuxième cas c'est peut être lorsque $\mathcal{A}$ est une fonction multivalué et du coup $ \mathcal{A} : D(\mathcal{A}) \mapsto \mathcal{P}(X)$ où $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ comme exemple de fonction multivalué tu as le sous-différentiel d'une fonction convexe, l'image réciproque d'une fonction quelconque.
  • vwvw
    Modifié (April 2022)
    $\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué dans le cas d'inclusion et dans l'égalité $\mathcal{A}:D(\mathcal{A})\subset X\rightarrow X$.
  • BarjovrilleBarjovrille
    Modifié (April 2022)
    Tu veux dire dans le cas d'appartenance ? Dans tout les cas si c'est un opérateur multivalué tu dois le préciser dans la question au début.
    Et si $\mathcal A$ est un opérateur multivalué tu ne peux pas le manipuler avec des signes d'égalités à part si  à un moment donné tu prouves qu'il est monovalué au moins à certains endroits.

  • vwvw
    Ok. Merci beaucoup.
  • vwvw
    Modifié (April 2022)
    Salut,
    Soit $X$ un espace de Hilbert et  $A: X \rightarrow 2^{X}$ opérateur non linéaire multivalué.
    $2^{X}$ l'ensemble de parties de l'ensemble $X$.
    Le problème de Cauchy dans ce cas est donné par :
    $U_t(t)+AU(t)\ni f(t), \ t \in [0,T]$
    $U(0)=U_0$
    $A$ est $\omega$-$m$ accretive c'est-à-dire :
    $\langle (A+\omega I) U,U\rangle \geq 0 $ et $R(I+\lambda A)=X $ pour certain  $\lambda >0$, $\omega \in \mathbb{R}^+$.
    Si $A$ is  $\omega$-$m$ accretive, $u_0 \in D(A)$ et $ f \in L^{1}(0,T;X)$ alors le problème de Cauchy a une solution unique  $ u\in C([0,T];X)$ (Livre " Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces").
    Si $A:D(A)\subset X\rightarrow X$ un opérateur non linéaire monovalué. Est-ce que l'on peut appliquer le résultat précédent avec :
    $U_t(t)+AU(t)=f(t) \;t \in [0,T] $
    $U(0)=U_0$
    [Restons dans le discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD]
  • BarjovrilleBarjovrille
    Modifié (April 2022)
    vw a dit :
    $U_t(t)+AU(t)\in f(t), \ t \in [0,T]$
    Fais attention ici le symbole appartient est dans le ''mauvais sens''.
    Quel est la définition de $R$ ?
  • vwvw
    Modifié (April 2022)
    Oui..c'est vrai. je l'ai rectifié.
    $R (I+\lambda A)$ est l'image de $I+\lambda A$. 

  • BarjovrilleBarjovrille
    Modifié (May 2022)
    Je ne suis pas sûr mais je pense que oui en disant qu'un opérateur monovalué c'est un cas particulier d'un opérateur multivalué.
  • vwvw
    Modifié (May 2022)
    Salut,
    On suppose que 
    $X$ un espace de Hilbert.
    $A: X\rightarrow 2^{X}$
    $2^{X}$ est l'ensemble de parties de $X$.
    $I$ l'opérateur d'identité
    $\lambda >0$
    $Au=\{Au\}$si $u\in D(A)$
    $Au=\emptyset$ sinon
    On veut montrer que $R(\lambda I-A)=X$
    $R(\lambda I-A)$ est l'image de $\lambda I-A$ 
    pour cela on cherche $\forall  h\in X ,u\in X$ tel que $\lambda u-Au=h$
    je veux tout d'abord chercher $u\in D(A)$ tel que $\lambda u-Au=h $. Mais le problème dans le cas où $u$ n'appartient pas à $D(A)$. comment je dois écrire ça " $\forall h\in X$ chercher $u\in D(A)^{c}$ tel que  $\lambda u-?=h $"? quel est l'élément que je dois écrire?
    $u\in D(A)^{c}$: u appartient a $X$ et n'appartient pas à $D(A)$.
  • BarjovrilleBarjovrille
    Modifié (May 2022)
    Bonjour,
    Il manque des hypothèses avec ce que tu as dit on ne peut pas conclure.
    Et pour ta définition de surjectif il faut mettre les quantificateurs dans le bon sens sinon ça ne marche pas.
    c'est : $\forall h \in X$ on cherche $u$...
  • vwvw
    Modifié (May 2022)
    Dans quelque ouvrages , on trouve cette expression
    Soit $A:D(A)\subset X \rightarrow X$ un opérateur multivoque je ne comprends pas comment l’opérateur $A$ est multivoque et en même temps l'espace d'arrivé est $X$. Avez-vous une idée sur ça ?
  • gerard0gerard0
    Modifié (May 2022)
    Bonjour.
    le fait de dire multivoque évite de dire que l'espace d'arrivée est $\mathcal P(X)$. Une application multivoque de $X$ dans $X$ est une application de $X$ dans $\mathcal P(X)$.
    Cordialement.
  • gebranegebrane
    Modifié (May 2022)
    Cherche le livre de Benilan, Crandall and Pazy .
    edit   Ph. Bénilan - M.G. Crandall - A. Pazy, Evolution Equations governed by accretive operators

    Tu y trouvera ton bonheur
    Le 😄 Farceur


  • vwvw
    @gebrane ..Est-ce que vous pouvez m'envoyer le livre car je l'ai pas trouvé et merci d'avance.
  • vwvw
    Modifié (July 2022)
    Salut
    Soit $X$ un espace de Hilbert.
    Soit $\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ non linéaire et  $f:[0,+\infty)\rightarrow X$
    $$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\ U(0)=U_{0}\end{cases} $$
     Je cherche des références de théorèmes  d'existence et d'unicité d'une solution $U$ in $[0,+\infty)$.
    J'ai trouvé quelque théorèmes mais dans le cas où  $U$ est défini sur $[0,T]$ et non pas sur $[0,+\infty)$ et pour le cas d'inclusion :
    $\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ nonlinéaire  multivalué et $f:[0,T]\rightarrow X$ $$\begin{cases}U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t\in[0,T], \\U(0)=U_{0}\end{cases} $$
  • Thierry PomaThierry Poma
    Modifié (July 2022)
    Bonjour
    Dans un problème de Cauchy, l'on s'attend à voir des dérivées ; c'est quand même le minimum. Même si les notations sont anglo-saxonnes, tu peux faire un effort de rédaction. Par exemple, est-ce que $U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t)$ a du sens ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • JLapinJLapin
    Modifié (July 2022)
    C'est aussi confus que le premier message du genre :
    [Discussions fusionnées. AD]
  • vwvw
    @Thierry Poma..oui il a du sens si l'opérateur $\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué.
    @JLapin..confusion?
  • JLapinJLapin
    @vw Oui, tes messages sont souvent peu intelligibles (synonyme de confus).
  • vwvw
    je comprends pas pourquoi l'admin a fusionné les discussions. Ça vraiment complique les choses !
    j'ai oublié quelque données pour le premier discussion(28 Avril)..mais pour la discussion d'aujourd'hui , elle est claire.
    @JLapin..Merci pour votre passage.

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