Que dit la loi (de la variable aléatoire) ?

bisam · February 2022

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$
Petite question sur les variables aléatoires discrètes, possiblement tronquées de leur substantifique moëlle dans le cadre restreint des programmes de classe préparatoire.

Dans ce cadre, une variable aléatoire discrète $X$ est définie comme une fonction de l'univers $\Omega$, muni d'une tribu $\mathcal{T}$ telle que $X(\Omega)$ est un ensemble fini ou dénombrable et que pour tout $x\in X(\Omega)$, $X^{-1}(\{x\})\in\mathcal{T}$.

Comment définit-on exactement la loi d'une variable aléatoire discrète ?

Naturellement, on pense à définir une fonction $P_X$ sur l'ensemble $\mathcal{P}(X(\Omega))$ des parties $A$ de $X(\Omega)$ par $P_X(A)=\P(X\in A)$... mais ce n'est pas très satisfaisant.

En effet, on aimerait dire qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ telle que $\P(X=0)=\P(X=1)=1/2$ et une variable aléatoire $Y$ à valeurs dans $\{0,1,2\}$ telle que $\P(Y=0)=\P(Y=1)=1/2$ et $\P(Y=2)=0$ suivent la même loi... mais ce n'est pas le cas puisque $P_X$ et $P_Y$ ne sont même pas définies sur le même ensemble.

Comment remédier à ce problème ?

gerard0 · February 2022

Bonjour.

Il me semble que tu as introduit une complication. Mais avant, s'agit-il de variables aléatoires réelles ?

Si oui, alors les ensembles d'arrivée de $X$ et de $Y$ sont le même ($\mathbb R$), et on a bien $P(X=2)=0$

Par contre, $X$ et $Y$ n'ont aucune raison d'être définies sur le même ensemble $\Omega$, ce qui ne les empêche pas d'avoir la même loi : la loi est la fonction $x\mapsto P(X=x)$.

Si non, ton exemple n'a pas lieu. Mais ce que j'ai dit ci-dessus peut se généraliser. Si $X$ prend ses valeurs dans $\{a,b,c\}$ et $Y$ dans $\{a,c,d,e,f\}$, rien n'interdit de les étendre à $\{a,\ldots,f\}$ avec des probas nulles.

Cordialement.

Pomme de terre · February 2022

@bisam

L'habitude des probabilistes est de définir la loi relativement à un espace $E$ dans lequel la variable aléatoire prend ses valeurs :

La loi d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans un ensemble dénombrable $E$ est la mesure de probabilité $P_X : \mathscr P(E) \to [0,1]$ définie comme tu le proposes (dans le cas d'un espace mesurable quelconque, on se restreint simplement à la tribu choisie).

Ceci évite de donner trop d'importance à l'ensemble $X(\Omega)$ qui, comme tu le soulignes justement, ne dépend pas seulement de la loi !

On peut comme cela comparer sans problème les lois de deux variables à valeurs dans un même espace $E$.

bisam · February 2022

Merci pour ces réponses. Je pense qu'effectivement la solution la plus simple est de définir la loi d'un "paquet" de variables ayant le même ensemble d'arrivée (mais pas forcément la même image).

Gache · April 2022

Ce problème me gêne aussi ! Aux Mines 2021, il y avait cette définition

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/j4/dt1njhd1eigj.jpg

Rien ne dit que $-X(\Omega)=X(\Omega)$ .... Il se peut que $(X=x)=\emptyset$ alors que $(X=-x)\not=\emptyset$ mais $P(X=-x)=0$ quand même ...

Héhéhé · April 2022

Oui tu te compliques la vie en restant sur $X(\Omega)$ alors qu'il suffit de l'inclure dans $\mathbb R$.

Soit $\Omega$ un ensemble muni d'une tribu $\mathscr T$, on dit que $X : \Omega \to \mathbb R$ est une variable aléatoire discrète si

$X(\Omega)$ est dénombrable;
$X^{-1}(\{x\}) \in \mathscr T$ pour tout $x \in \mathbb R$.

La loi de $X$ est alors donnée par les valeurs $\mathbb P(X=x) = \mathbb P(X^{-1}(\{x\}))$ avec $x \in \mathbb R$.

Dans ton exemple Bisam, la loi de $X$ est $\mathbb P(X=x) = 1$ si $x=0$ ou $x=1$ et $\mathbb P(X=x) = 0$ sinon. La loi de $Y$ est alors exactement la même ($\mathbb P(Y=x) = 1$ si $x=0$ ou $x=1$ et $\mathbb P(Y=x) = 0$ sinon).

Dans l'exemple des Mines, aucun problème si on dit en fait que l'égalité (2) est pour tout $x \in \mathbb R$ et non pour tout $x \in X(\Omega)$.

bisam · April 2022

Sans forcément supposer que les variables sont à valeurs dans $\R$, j'ai finalement opté pour une définition qui précise que l'on peut définir la loi de $X$ comme étant une fonction que l'on peut définir sur l'ensemble des parties de n'importe quel ensemble $E$ contenant $X(\Omega)$.

On dit alors que deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ suivent la même loi lorsqu'il existe un ensemble $E$ contenant $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ tel que pour tout $x\in E$, $\mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(Y=x)$.

C'est d'ailleurs le point de vue qui est explicité dans le nouveau programme de maths des MP (mais qui est éludé en PSI et en PC...)

Que dit la loi (de la variable aléatoire) ?

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