Une ponctuelle de Newton

Bonjour,

Avec Morley:

% Jean-Louis Ayme - 6 Avril 2022 - Une ponctuelle de Newton

clc, clear all, close all

% On part du quadrilatère de contact TUVW

syms t u v w;
syms tB uB vB wB; % Conjugués

tB=1/t; % Morley's trick avec le cercle inscrit
uB=1/u; 
vB=1/v;
wB=1/w;

s1=t+u+v+w;                  % Fonctions symétriques
s2=t*u+t*v+t*w+u*v+v*w+w*u;
s3=t*u*v+t*u*w+t*v*w+u*v*w;
s4=t*u*v*w;

s1B=s3/s4;                   % Conjugués
s2B=s2/s4;
s3B=s1/s4;
s4B=1/s4;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*t*u/(t+u); % Sommets ABCD du quadrilatère
b=2*u*v/(u+v);
c=2*v*w/(v+w);
d=2*w*t/(w+t);

aB=2*tB*uB/(tB+uB); % Conjugués
bB=2*uB*vB/(uB+vB);
cB=2*vB*wB/(vB+wB);
dB=2*wB*tB/(wB+tB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Milieux de [AC] et [BD]

m=(a+c)/2; n=(b+d)/2; mB=(aB+cB)/2; nB=(bB+dB)/2;

% On trouve: 
% m = s3/((t+u)*(v+w)) et mB = s1/((t+u)*(v+w))
% n = s3/((t+w)*(u+v)) et mB = s1/((t+w)*(u+v))

Nul=Factor(m*nB-n*mB) % Égal à 0, donc c'est gagné

% On constate que m/n = ((t + w)*(u + v))/((t + u)*(v + w))

%-----------------------------------------------------------------------

% Sommets E et F complétant le quadrilatère complet ABCDEF

e=2*t*v/(t+v); f=2*u*w/(u+w); eB=2*tB*vB/(tB+vB); fB=2*uB*wB/(uB+wB);
p=(e+f)/2; pB=(eB+fB)/2; % Milieu de [EF]

Nul=Factor(m*pB-p*mB) % Vérification

% Conclusion: la droite de Newton passe par O

La propriété à démontrer est équivalente à $\dfrac{(t + w)(u + v)}{(t + u)(v + w)}\in\mathbb{R}$, d'où l'idée de peut-être faire intervenir le quadrilatère TUVW et les milieux de ses côtés.

Cordialement,
Rescassol

Il y a certainement un rapport avec le théorème d'Urquart

Mon cher pappus.
Il n'y a pas besoin de maitriser on ne sait quelles connaissances surnaturelles pour remarquer que la conique dont on cause est inscrite dans le triangle $A,B,E$   tandis que la droite $FDC$ est une transversale à ce triangle. La propriété demandée  n'est donc autre que la propriété de Newton sur les coniques tangentes à quatre droites données. 
Comment faire pour que la conique soit un cercle ?  Si l'on dispose d'une bonne maîtrise des triangles inscrits, on peut se dire qu'il faut et suffit que la transversale soit l'une des tangentes aux cercles inscrit/exinscrits dans le trigone des trois  premières droites. Cela ne semble pas demander un niveau bac+99! 

Cordialement, Pierre.

OK

Moi qui pensais que tu préférais les bonnes poires

Bonjour.
On a une propriété plus ou moins affine: les $\linf$ centres des coniques quadritangentes sont sur la droite des $\linf$ milieux. Pour chaque conique, on considère la métrique qui circularise cette conique en un beau cercle. Et alors les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales. On multiplie par le rayon qui a la même mesure dans chaque direction (=définition d'un cercle). Et alors la somme alternée des aires est nulle. Ensuite de quoi, le milieu d'un segment découpe ce segment en deux moitiés isométriques. On utilise alors que l'aire d'un triangle est le produit base par hauteur. On voit sur la figure que les triangles tournent dans des sens opposés (on peut aussi sortir les axiomes de Pasch de leur étagère, cela fait plus riche). Et alors la somme alternée continue dêtre nulle. Il reste à remarquer que le noyau d'une forme linéaire (ayant le bon rang) est une droite. Puis à conclure que si c'est vrai de chaque conique, cela est vrai de toutes les coniques.
Utiliser les aires algébriques pour éviter de faire un peu d'algèbre, ah que voilà une belle pirouette.

Cordialement, Pierre.