Intégrales premières
Bonjour,
J'ai une question concernant les intégrales premières.
Les équations associées d'un champ de vecteurs $V=\big( 1, y(1-z), z(y-1)\big)$ sont données par :
$$dx=\frac{dy}{y(1-z)}=\frac{dz}{z(y-1)}.$$
Je vais déterminer deux intégrales premières différentes. La première est facile, en effet on a
$$\frac{dy}{y(1-z)}=\frac{dz}{z(y-1)} \quad\Rightarrow\quad \frac{y-1}{y}dy=\frac{1-z}{z}dz.$$
En intégrant, on obtient
$$y+z-\ln(yz)=c.$$
Donc $u_1=y+z-\ln(yz)$ est une intégrale première.
Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'aider à trouver une autre intégrale première ?
Merci bien d'avance.
N.B. Une fonction $u\in C^1(\Omega)$ est une intégrale première d'un champ de vecteurs $V$ dans $\Omega$ si, en chaque point de $\Omega$,
on a $V\cdot \nabla u= 0$ dans $\Omega$.
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Réponses
@math2 merci beaucoup pour votre réponse.
Franchement je ne connais pas la méthode que vous avez proposée.
Pour obtenir une intégrale première, toujours (d'après ce qu'on a vu) on essaye de séparer deux variables et après intégrer pour obtenir quelque chose qui égale à une constante et qui sera une intégrale première (comme j'ai fait pour trouver une intégrale première).
Pour trouver une autre, d'habitude on essaye de séparer deux autres variables différentes qu'en première étape et intégrer, parfois aussi on utilise le fait que la première quantité qu'on a trouvé est une constante et on écrit une variable en fonction de l'autre et après on la remplace dans l'équation (mais ici par exemple je n'arrive pas à écrire $y=f(z)$).
Autre propriété qu'on utilise si on a
$$ \frac{dx}{P} =\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}$$ alors $$\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}=\frac{adx+bdy+cdz}{aP+bQ+cR},$$ avec $a, b$ et $c$ sont des constantes ou des fonctions en $x, y, z$.