Équation de la chaleur stochastique (question de cours)

diegau · April 2022

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Bonjour,
je ne parviens pas au bout de cette preuve.
Je vois tout à fait comment on arrive à $u\left( T,W^{t,x}_{T}\right) $, par le lemme d'Ito.

Mais l'espérance de cette expression, je ne suis pas sûr. Bref je n'arrive pas à $u\left( t;x\right) $.

[Kiyoshi Itō (1915-2008) prend toujours une majuscule. AD]

noobey · April 2022

Hello ! Tout simplement : $u(T, W_T^{t,x}) = u_0(W_T^{t,x})$
Ensuite si tu prends l'espérance des 2 côtés, la partie brownienne est toujours d'espérance nulle et la partie en ds est nulle par hypothèse de l'énoncé.
Par contre sauf erreur y a un problème d'homogénéité. Le gradient est un vecteur, ce n'est pas un scalaire y a un petit problème quelque part.

sevaus · April 2022

Il faut remarquer que la première intégrale de Lebesgue$\displaystyle \int_t^T (\cdots) \mathrm{d}s$ est nulle par hypothèse sur $u$ et que la seconde intégrale stochastique $\displaystyle \int_t^T (\cdots) \mathrm{d}W_s$ est d'espérance nulle car martingale locale.

@noobey: le terme $\mathrm{d}W_s = (\mathrm{d}W_s^{(1)}, \dots, \mathrm{d}W_s^{(d)})$ est aussi un vecteur

diegau · April 2022

Effectivement ce n'était pas compliqué. Merci beaucoup.
Le but était de trouver la solution de la formule de Feynman - Kac. On procède donc de la même façon, sauf erreur de ma part.

Équation de la chaleur stochastique (question de cours)

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