Problèmes liés aux fondements de l'analyse
Bonjour,
Imaginons qu'on travaille avec des élèves de terminale très très très doués et qu'on souhaite avec eux creuser les fondements de l'analyse.
Par exemple, ils n'ont pour l'instant une idée des nombres réels qu'à travers des développements décimaux infinis, sans définition formelle. Ils n'ont pas formalisé clairement les "axiomes" utilisés (borne supérieure, intervalles emboités, Archimède, etc...).
Ils ont rencontré quelques "grands théorèmes fondamentaux" comme celui des suites adjacentes, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes, etc... sans creuser très loin.
Imaginons justement qu'on souhaite les faire creuser, notamment via de belles situations-problèmes qui permettent de mettre en lumière pourquoi toutes ces propriétés sont absolument essentielles pour faire de l'analyse correctement. Vers quel ouvrage de référence devrait-on se tourner pour trouver des exercices/problèmes bien conçus dans cette optique ?
Merci pour toute suggestion.
Imaginons qu'on travaille avec des élèves de terminale très très très doués et qu'on souhaite avec eux creuser les fondements de l'analyse.
Par exemple, ils n'ont pour l'instant une idée des nombres réels qu'à travers des développements décimaux infinis, sans définition formelle. Ils n'ont pas formalisé clairement les "axiomes" utilisés (borne supérieure, intervalles emboités, Archimède, etc...).
Ils ont rencontré quelques "grands théorèmes fondamentaux" comme celui des suites adjacentes, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes, etc... sans creuser très loin.
Imaginons justement qu'on souhaite les faire creuser, notamment via de belles situations-problèmes qui permettent de mettre en lumière pourquoi toutes ces propriétés sont absolument essentielles pour faire de l'analyse correctement. Vers quel ouvrage de référence devrait-on se tourner pour trouver des exercices/problèmes bien conçus dans cette optique ?
Merci pour toute suggestion.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je ne connais pas les ouvrages que tu cherches, mais, si tu me permets, j'aimerais savoir si ces élèves de terminale connaissent la construction de l'ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des rationnels. Parce qu'il faudrait déjà leur faire commencer par là.
Pour la construction de l'ensemble des entiers naturels, il devront commencer par apprendre l'axiome de l'infini.
Non, je ne souhaite pas cela puisque dans ce cas, les choses seraient faites de façon académique en commençant par le début. Théorie des ensembles -> naturels -> rationnels -> réels -> suites -> fonctions, etc...
En secondaire, évidemment, les choses se font dans le sens inverse. On a des élèves qui ont déjà beaucoup joué avec les fonctions et les suites tout en n'ayant pas conscience des fondements utilisés. L'idée est de leur faire découvrir ces fondements via des problèmes adéquats. Par exemple, leur poser un exercice pratique sur les fonctions qui va les forcer à "découvrir" le théorème des bornes atteintes, qui doit nécessairement être invoqué pour conclure. Ou leur poser un exercice qui fait joliment apparaître le caractère archimédien, etc...
On est clairement dans une perspective didactique et pas académique ici. J'espère que c'est plus clair.
Démontrer qu'il existe à tout moment deux points opposés sur l'équateur où les températures sont égales. On pourra considérer que la température à l'équateur est une fonction continue de la longitude.
qui est parfait pour faire apparaitre le théorème des valeurs intermédiaires. Evidemment ce genre d'exercice "concret" est très difficile à fabriquer, d'où mes recherches d'une référence.
Merci pour votre suggestion, je vais aller voir ça.
Pour compenser l’enseignement trop formel et parfois « dénué de contenu véritable » de l’analyse en première année d’université (selon l’auteur).
Exemples de problèmes traités : utilisation du théorème des valeurs intermédiaires pour résoudre $f(x)=a$, où $f$ est une fonction continue sur un certain intervalle. Montrer que l’axiome de la borne supérieure implique celui des intervalles emboîtés (le début de l’ouvrage insiste sur les axiomes). Calcul de $\sqrt{10}$ par la méthode de dichotomie. Dans le chapitre « puissances entières », il y a des exercices sur l’évolution de bactéries ou sur la désintégration du radium.
À la fin de chaque chapitre, il y a des annexes et des indications historiques.
e.v.