Une équation symétrique
dans Arithmétique
Trouver tous les $a,b,c\in\Q[i]$ tels que $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$.
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Réponses
Mais $j\not\in\Q(i)$ et donc $r=q^3$ ; de ce fait, $a=b=c$, la réciproque étant claire.
mais non : j'ai lu trop vite --- c'est $\Q[i]$ !!!
Si on considère $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$ comme une équation du second degré en $a$, on a $\Delta=-3(b-c)^2$ dont la racine carrée ne peut être rationnelle que si $b=c$, donc par permutation circulaire si $a=b=c$.
Cordialement,
Rescassol
En effet, pour tous complexes $a,b,c$ deux à deux distincts,$$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\Leftrightarrow a,b,c\text{ sont les affixes de trois sommets d'un triangle équilatéral.}$$En particulier, il n'existe pas de triangle équilatéral à sommets rationnels.
D'où le $\Q[i]$ john_john.
Sa maîtresse avait évidemment trouvé trois points du réseau constituant les sommets d'un triangle équilatéral.
Je lui avais signalé l'impossibilité d'une telle configuration mais je n'ai jamais eu aucun retour.
Oui, Gai Requin, mais la condition d'équilatéralité n'est connue, et encore, qu'après le bac,
Il faudrait savoir à quel niveau cette question a été posée.
D'autre part, je rencontre régulièrement des équations du second degré en géométrie ...
Cordialement,
Rescassol
Mais quelle serait cette généralisation ?
-- Schnoebelen, Philippe
pas de généralisation en vue ; ce n'était que de l'autodérision pour m'être donné du mal pour justifier la factorisation du $3$ alors que l'anneau de référence était un corps. Dans $\Z[i]$, il eût fallu bosser un peu plus pour factoiser $2$, par exemple.
Un triangle scalène est un triangle quelconque, c'est à dire, ni équilatéral, ni rectangle, ni isocèle.
Il n'a aucune propriété qu'aurait un triangle particulier.
Cordialement,
Rescassol
Un triangle scalène est un triangle non isocèle (trois côtés de longueurs distinctes). Par contre il peut être rectangle.
-- Schnoebelen, Philippe
Edit : Et puis, pendant qu'on y est, il faut aussi abandonner "indénombrable", "irrationnel", "composé" (c'est le contraire de "premier"), "divergent" (le contraire de "convergent"), "obtus" (ou bien on vire "aigu", mais il faut choisir !), "asymétrique", "indécidable", etc, etc
Edit 2 : $\Bbb N^*$ corrigé en $\Bbb N$.
PS. Et ça n'a pas la prétention d'être une notion formelle, bien définie, donc ne pas savoir si les triangles rectangles sont quelconques a peu d'importance (bien que personnellement je dirais qu'ils ne le sont pas).
Donc je pencherais plus pour qu'on supprime le prédicat "fini" 🤣
Aussi, l'axiome de l'infini, devrait être renommé "axiome du non fini", ce serait moche comme nom 😅
-- Schnoebelen, Philippe
Cependant l'ensemble des entiers naturels est construit comme l'intersection de la classe des ensembles inductifs. Cette classe (la classes des ensembles inductifs) est non-vide à cause de l'axiome de l'infini qui dit tout simplement que cette classe est non-vide.
Ce qui me poserait problème ce serait plus le fait de devoir renommer l'axiome de l'infini 😂
"il existe $n\in\Bbb N$, tel que l'ensemble est en bijection avec $n$".
PS : je suis d'accord pour supprimer l'expression "triangle scalene".
La définition classique que j'ai pour les ordinaux c'est : ensemble transitif sur lequel la restriction de l'appartenance réalise un bon ordre.
Avec ta définition je n'ai pas réussi à montrer que la restriction de l'appartenance est bien une relation totale, c'est peut être moi qui suis en faute, ou c'est peut-être dû à un oubli de ta part (ça arrive souvent quand on écrit vite et long). Pourrais-tu juste vérifier pour voir si il faut rajouter l'hypothèse que la restriction de l'appartenance est une relation totale ou si elle se déduit déjà de ta définition.
Édit.
Aussi, aucun ordinal n'a pour éléments que des successeurs sauf l'ensemble vide car il est vide, les autres ordinaux ont l'ensemble vide comme élément donc un élément non successeur.
Je crois qu'il est nécessaire d'utiliser l'axiome de l'infini, l'axiome du choix est inutile ici (il me semble, mais il faudrait que je refasse la démo pour être sûr).
Aussi, pourquoi tous les logiciens que je connais interprètent toujours "ordinal successeur"= "ordinal successeur d'un ordinal" alors que "être un ordinal" et "être un ensemble successeur" sont déjà clairement définis et que la classe des ordinaux successeurs c'est justement "être un ordinal et être un ensemble successeur" ? 🤣 Pas besoin de dire qu'il est successeur d'un ordinal 😅
Cordialement.
- Un rectangle certes mais comment ?
Ceci dit, je sais bien qu’un élève du secondaire ferait bien de connaître tout un tas d’autres choses en priorité que le mot « scalène ». J’imagine qu’il y a consensus là-dessus.
Ça me paraît une bonne définition, JLT.
Cordialement,
Rescassol
Ah oui, j'ai oublié le cas de l'ensemble vide, tu as raison.
Dire "triangle scalene" est en effet inutile, autant juste dire "triangle". Là je suis d'accord avec @Chaurien, l'expression "scalene" n'apporte rien au langage et elle introduit des possibilités de mauvaises interprétations. Le mieux c'est de faire disparaitre l'expression.
Édit :Sinon autant adopter des expressions telles que : 1) voitures à roues
🤣
Comme acutangle et obtusangle.
"Un ordinal successeur ou vide dont tout élément est successeur ou vide s'appelle un nombre entier."
Édit : c'est une définition d'entier naturel que je ne connaissais pas.
@Dom t'es sûr que "scalene" signifie "non-isocele" ? Si oui, alors je trouve que c'est encore plus inutile, en effet dans quelles conditions on aurait besoin de spécifier que le triangle sur lequel on travaille n'est pas isocèle ? Je comprends qu'on spécifie qu'on veut travailler sur un triangle isocèle pour un problème donné, ou qu'on ne donne pas de contraintes particulières sur le triangle, mais qu'on spécifie clairement qu'il n'est pas isocèle...et c'est sensé être une situation assez courante pour mériter un nom ? Je pense que ce genre d'expressions vient d'une époque où le formalisme mathématique était faible, il y a beaucoup de trucs en maths qui sont des héritages d'une époque où les maths n'étaient pas très développées. Juste mon humble opinion.
Cordialement.
on y lit des acceptions anciennes, notamment
Isocèle : seulement deux côtés égaux
Scalène : trois côtés inégaux
Je lis aussi les mêmes points de vue « excluants » pour les quadrilatères.
Donc $2\cos(2\pi/n)$, de degré $\varphi(n)/2$ sur $\Q$, est dans $\Q$.
D'où $\varphi(n)=2$ et $n\in\{3,4,6\}$.
Enfin, si $n\in\{3,6\}$, on a $\Q\big(e^{i\frac{2\pi}n}\big)\cap\Q(i)=\Q$ donc $n=4$.