Math et fiabilité de tests
Bonjour,
voici un sujet de SVT-MATH pour le grand oral.
Pourriez-vous me dire si la partie MATH est cohérente ?
Merci beaucoup !
Un test positif peut-il être négatif ?
Bien sûr vous le savez les tests ne sont pas fiables à 100%. Néanmoins, un laboratoire spécialisé dans les tests ADN a annoncé que les tests génétiques de la maladie cœliaque qu’ils possèdent peuvent confirmer avec précision si vous avez une prédisposition génétique [à] cette maladie qui est une maladie chronique de l’intestin déclenchée par la consommation de gluten, un mélange de protéines contenues dans certaines céréales comme le blé, l’orge, le seigle. Chez les personnes atteintes de la maladie cœliaque, l’ingestion de gluten entraîne une réaction immunitaire anormale dans l’intestin grêle, qui crée une inflammation et endommage la paroi intestinale. Plus précisément, ce sont les villosités intestinales qui sont détruites. Ce sont de petites structures en forme de vague qui constituent les « replis » de l’intestin et qui permettent l’absorption de la majeure partie des nutriments, des vitamines et des minéraux (voir le schéma ci-dessus).
Si l’inflammation persiste, l’intestin abîmé devient incapable d’absorber certains nutriments, vitamines et minéraux. Il peut s'ensuivre une malnutrition malgré une alimentation normale. D’autres symptômes d’intensité variable peuvent se manifester, comme une fatigue, une dépression et des douleurs aux articulations. Avec le temps, des problèmes de santé plus graves peuvent apparaître. Les personnes atteintes peuvent toutefois retrouver la santé en éliminant le gluten de leur alimentation. Le HLA DQ2 et le DQ8 sont 2 gènes qui sont le plus souvent observés chez les personnes souffrant de la maladie cœliaque. Ces 2 gènes sont les plus communs même si ce ne sont pas les seuls gènes potentiels impliqués dans la maladie cœliaque. HLA signifie Human Leukocyte Antigen (antigène des leucocytes humains). Le HLA produit une protéine qui détient [détecte ?] tous les matériaux étrangers comme les petites particules étrangères, les virus ou les bactéries sur la surface de la cellule. Dans le cas des individus porteurs des gènes HLA défectueux, le corps n’est pas en mesure de bien distinguer le gluten du HLA, ce qui se traduit par une réaction auto-immune (inflammation et à une destruction de tissus). Le laboratoire dit bien que leur test génétique de la maladie cœliaque confirmera si vous êtes porteur du gène impliqué dans la maladie cœliaque et écartera la maladie avec une précision de 99%. Les données concernant la prévalence fluctuent beaucoup, car le diagnostic de la sensibilité au gluten n’est pas simple. Les experts et les associations de malades estiment que de nombreuses personnes en sont atteintes sans le savoir, et que la maladie est plus courante qu’on le croit. La fréquence de la maladie dépend des régions du globe et de l’origine ethnique. Les populations caucasiennes (Europe, Blancs d’Amérique du Nord, Australie) sont les plus touchées, la prévalence oscillant entre 1 personne sur 100 et 1 personne sur 300 environ. La maladie semble plus rare chez les personnes d’origine asiatique ou africaine. La présence est de 1% en France. Si je vous dis qu’il n’y a pas de grandes raison de s’inquiéter avec un test fiable à 99%. Vous allez me dire comment c’est possible ? Observons ces résultats d’un peu plus près.
Pour que ce soit plus concret, prenons par exemple le cas d’une petite ville V de 10000 habitants.
On note M l’évènement : « La personne est malade », et T l’évènement : « Le test est positif ». Le but est de calculer PT(M). Les données que nous avons en main sont P(M)= 0,01 (et donc P(¯M)=0,99), PM(T)=0,99 et P¯M(T)=0,01. La formule de Bayes donne :
PT(M)=PM(T)P(M)/PM(T)P(M)+P¯M(T)P(¯M)
=10−2×0,99/10−2×0,99+0,99×10−2
≃0,5.
C'est catastrophique ! Il n'y a que 50% de chances qu'une personne positive au test soit effectivement malade ! C'est tout le problème des tests de dépistage pour des maladies rares : ils doivent être excessivement performants, sous peine de donner beaucoup trop de "faux-positifs".
La formule de Bayes a longtemps été appelée formule de probabilité des causes. Elle permet en effet de remonter le temps, c'est-à-dire de calculer la probabilité d'une cause sachant celle de sa conséquence. Longtemps, elle a été regardée avec beaucoup de circonspection par les statisticiens de tous bords.
Si une personne sur 100 est atteinte de maladie cœliaque, cela signifie alors qu’on peut s’attendre à ce que 100 habitants soient malades et 9900 en bonne santé (en théorie bien entendu). Imaginons un instant que tous les habitants de V effectuent un test. Sur les 100 individus réellement malades, seulement 99 seront diagnostiqués positifs puisque le test n’est fiable qu’à 99%. Quant aux 9900 autres individues en bonne santé, ils seront tout de même 99 à être déclarés malades (9900*1/100=99) soit 1% de 9900 alors qu’ils sont en parfaite santé. Récapitulons, 99 personnes réellement malades sont déclarées malades. Ça c’est bien, mais 99 personnes non malades seront quand même déclarées positives. La conclusion est limpide, parmi tous les198 déclarés malades, seulement 99 le sont réellement alors que le taux de fiabilité du test est plutôt élevé… Si je suis diagnostiqué positif, j’ai seulement 50% de chance, enfin plutôt de malchance d’être réellement malade !
voici un sujet de SVT-MATH pour le grand oral.
Pourriez-vous me dire si la partie MATH est cohérente ?
Merci beaucoup !
Un test positif peut-il être négatif ?
Bien sûr vous le savez les tests ne sont pas fiables à 100%. Néanmoins, un laboratoire spécialisé dans les tests ADN a annoncé que les tests génétiques de la maladie cœliaque qu’ils possèdent peuvent confirmer avec précision si vous avez une prédisposition génétique [à] cette maladie qui est une maladie chronique de l’intestin déclenchée par la consommation de gluten, un mélange de protéines contenues dans certaines céréales comme le blé, l’orge, le seigle. Chez les personnes atteintes de la maladie cœliaque, l’ingestion de gluten entraîne une réaction immunitaire anormale dans l’intestin grêle, qui crée une inflammation et endommage la paroi intestinale. Plus précisément, ce sont les villosités intestinales qui sont détruites. Ce sont de petites structures en forme de vague qui constituent les « replis » de l’intestin et qui permettent l’absorption de la majeure partie des nutriments, des vitamines et des minéraux (voir le schéma ci-dessus).
Si l’inflammation persiste, l’intestin abîmé devient incapable d’absorber certains nutriments, vitamines et minéraux. Il peut s'ensuivre une malnutrition malgré une alimentation normale. D’autres symptômes d’intensité variable peuvent se manifester, comme une fatigue, une dépression et des douleurs aux articulations. Avec le temps, des problèmes de santé plus graves peuvent apparaître. Les personnes atteintes peuvent toutefois retrouver la santé en éliminant le gluten de leur alimentation. Le HLA DQ2 et le DQ8 sont 2 gènes qui sont le plus souvent observés chez les personnes souffrant de la maladie cœliaque. Ces 2 gènes sont les plus communs même si ce ne sont pas les seuls gènes potentiels impliqués dans la maladie cœliaque. HLA signifie Human Leukocyte Antigen (antigène des leucocytes humains). Le HLA produit une protéine qui détient [détecte ?] tous les matériaux étrangers comme les petites particules étrangères, les virus ou les bactéries sur la surface de la cellule. Dans le cas des individus porteurs des gènes HLA défectueux, le corps n’est pas en mesure de bien distinguer le gluten du HLA, ce qui se traduit par une réaction auto-immune (inflammation et à une destruction de tissus). Le laboratoire dit bien que leur test génétique de la maladie cœliaque confirmera si vous êtes porteur du gène impliqué dans la maladie cœliaque et écartera la maladie avec une précision de 99%. Les données concernant la prévalence fluctuent beaucoup, car le diagnostic de la sensibilité au gluten n’est pas simple. Les experts et les associations de malades estiment que de nombreuses personnes en sont atteintes sans le savoir, et que la maladie est plus courante qu’on le croit. La fréquence de la maladie dépend des régions du globe et de l’origine ethnique. Les populations caucasiennes (Europe, Blancs d’Amérique du Nord, Australie) sont les plus touchées, la prévalence oscillant entre 1 personne sur 100 et 1 personne sur 300 environ. La maladie semble plus rare chez les personnes d’origine asiatique ou africaine. La présence est de 1% en France. Si je vous dis qu’il n’y a pas de grandes raison de s’inquiéter avec un test fiable à 99%. Vous allez me dire comment c’est possible ? Observons ces résultats d’un peu plus près.
Pour que ce soit plus concret, prenons par exemple le cas d’une petite ville V de 10000 habitants.
On note M l’évènement : « La personne est malade », et T l’évènement : « Le test est positif ». Le but est de calculer PT(M). Les données que nous avons en main sont P(M)= 0,01 (et donc P(¯M)=0,99), PM(T)=0,99 et P¯M(T)=0,01. La formule de Bayes donne :
PT(M)=PM(T)P(M)/PM(T)P(M)+P¯M(T)P(¯M)
=10−2×0,99/10−2×0,99+0,99×10−2
≃0,5.
C'est catastrophique ! Il n'y a que 50% de chances qu'une personne positive au test soit effectivement malade ! C'est tout le problème des tests de dépistage pour des maladies rares : ils doivent être excessivement performants, sous peine de donner beaucoup trop de "faux-positifs".
La formule de Bayes a longtemps été appelée formule de probabilité des causes. Elle permet en effet de remonter le temps, c'est-à-dire de calculer la probabilité d'une cause sachant celle de sa conséquence. Longtemps, elle a été regardée avec beaucoup de circonspection par les statisticiens de tous bords.
Si une personne sur 100 est atteinte de maladie cœliaque, cela signifie alors qu’on peut s’attendre à ce que 100 habitants soient malades et 9900 en bonne santé (en théorie bien entendu). Imaginons un instant que tous les habitants de V effectuent un test. Sur les 100 individus réellement malades, seulement 99 seront diagnostiqués positifs puisque le test n’est fiable qu’à 99%. Quant aux 9900 autres individues en bonne santé, ils seront tout de même 99 à être déclarés malades (9900*1/100=99) soit 1% de 9900 alors qu’ils sont en parfaite santé. Récapitulons, 99 personnes réellement malades sont déclarées malades. Ça c’est bien, mais 99 personnes non malades seront quand même déclarées positives. La conclusion est limpide, parmi tous les198 déclarés malades, seulement 99 le sont réellement alors que le taux de fiabilité du test est plutôt élevé… Si je suis diagnostiqué positif, j’ai seulement 50% de chance, enfin plutôt de malchance d’être réellement malade !
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Réponses
Ici, sur cet exemple, je donne la réponse, on peut estimer le nombre total de personnes malades à $408$, dont $404$ ont été signalées comme positives par le test.
La réponse peut paraître surprenante, et ce serait dommage de découvrir ce '''paradoxe''' le jour du grand-Oral.
merci pour toutes ces précisions de vocabulaire !
Je n'arrive pas à comprendre l'exemple de Lourran.
Merci !
- 2 lignes : malade / NonMalade plus une ligne total
- 2 colonnes : positif / Négatif plus une colonne total
Et tu remplis le tableau.
Dans cet exemple, on teste 10000 personnes prises au hasard dans la population, et on a ces résultats/ce paradoxe.
Dans la vraie vie, on ne teste pas $N$ personnes prises au hasard, on teste des personnes qui présentent des symptômes, ou au moins qui ont de bonnes raisons d'être testées... Si une personne a des symptômes et est testée positive, on peut conclure qu'elle est malade.
On peut aussi faire passer un second test à toutes les personnes qui ont eu un premier test positif. Et là, pour les personnes qui ont été testées 2 fois 'positives', on a la quasi-certitude qu'elles sont réellement malades.
Ou bien, on a des tests mieux calibrés. Si on ne sait pas faire des tests qui ont une sensibilité de 0.998 et une spécificité de 0.998, on sait peut-être faire des tests ( 0.998, 0.98), ou l'inverse, (0.98, 0.998)
Selon les objectifs, et selon ce que les labo savent faire, on calibre les tests différemment.
C.
https://santepublique.med.univ-tours.fr/wp-content/uploads/2016/07/evaluation_meth_depistage.pdf
-- Schnoebelen, Philippe
Beaucoup de facs de France le presentent en première année de PASS ou LAS par contre svp, si vous vous servez de ce document, démontrez la formule donnant la VPP et la VPN en fonction de la prévalence, de la sensibilité et de la spécificité. Ce n'est pas méchant, c'est juste Bayes, ça m'énerve les facs où ça sort de nulle part et il faut l'apprendre par cœur