Influence d'une symétrie

Ludwig
Ludwig
dans Probabilités, théorie de la mesure
Soient $0 \leq d \leq 2$ et $\epsilon > 0$. Les deux problèmes suivants admettent-ils la même réponse ?

On place au hasard $2n$ points dans un disque de rayon $1$.
Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux de ces points (appelons-les $A$ et $B$) soient tels que $\vert AB-d \vert<\epsilon$ ?

La question est la même sauf que les $2n$ points sont obtenus en plaçant au hasard $n$ points dans un demi-disque de rayon $1$ et en construisant les symétriques de chacun par rapport au diamètre. 

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    Intuitivement (enfin pour moi), la symétrie enlève des chances d’avoir des points mieux placés. 
    J’essaye d’étendre : on coupe en 16 le disque, on tire quelques points dans un part et par des isométries on copie-colle les points dans les 15 parts restantes. 
    Bon, je me plante peut-être totalement…
    Une simulation doit se programmer sans trop de problème pour avoir une idée. 
  • Ludwig
    Ludwig
    Je suis assez d'accord avec ton intuition. Et on peut déjà regarder le cas $n=1$ !
  • Ludwig
    Ludwig
    Modifié (April 2022)
    Pour $n=1$ dans le problème n°2, pour $\epsilon$ petit on peut assimiler la zone où peut se trouver le point à un rectangle. Donc en gros la probabilité c'est : 


    Et pour $n=1$ dans le problème n°1 ben le calcul doit être tout autre mais ce n'est pas une raison pour qu'il diffère.
  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    Il faut préciser d’ailleurs ce « au hasard » (même si la question réside quel que soit le hasard choisi) car c’est exactement le cadre du paradoxe de Bertrand qui pointe son nez. 

    De manière assez bourrine, pour moi c’est choisir une abscisse de manière uniforme disons dans [0;1] (peu importe) puis une ordonnée dans la corde verticale choisie par l’abscisse. 
    Ou alors on tire une flèche en $x$ et en $y$ dans un carré et on ne l’a compte pas si elle sort du disque. 
    Bref je cartésianise bêtement. 
  • Ludwig
    Ludwig
    Modifié (April 2022)
    Et si on prend la symétrie centrale de centre celui du disque, la probabilité demandée pour le problème n°2 ($n=1$) est $ \epsilon d$ (il suffit de calculer l'aire d'une couronne circulaire). Donc si déjà ça dépend de la symétrie...
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