Martingale et mouvement brownien

diegau · April 2022

Bonjour,
je cherche à montrer que $M$ une $F_t$-martingale est un $F_t$-mouvement brownien si et seulement si $\left< M\right>_{t} =t$.
Quelqu'un a-t-il une idée ?

Barjovrille · April 2022

Si tu supposes que $M$ est brownien, et tu veux montrer que $<M>_t= t$ donc que $(M_t^2-t)$ est une martingale.

En remarquant que $t= E(M_t^2)$. Comme $( M_t)$ est à accroissement indépendant $(M_t^2)$ est à accroissement indépendant.

Soit $t>s$ \begin{align*}
E(M_t^2-t|F_s))&=E(M_t^2-M_s^2+M_s^2-t|F_s) \\
&= E(M_t^2-M_s^2|F_s) +E(M_s^2|F_s) - t \\
&=E(M_t^2-M_s^2) + M_s^2 - E(M_t^2) \\
&=M_s^2 - E(M_s^2). \end{align*} Donc $(M_t^2-t)$ est une martingale.