Enlever le nombre complexe j au dénominateur
Bonjour, sur certains calculs, j'ai du mal à enlever le nombre complexe au dénominateur. Notamment pour ces deux calculs :
$$\dfrac{j}{j-1}=\dfrac{1-j}{3}\qquad\text{et}\qquad \dfrac{1}{(j-1)(j+1)(j^{2}-j+1)}.$$
Je n'arrive pas à retrouver la première égalité. Je cherche à ne plus avoir de $j$ au dénominateur pour le second ($j=e^{i2\pi/3}$).
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Réponses
Je ne sais pas si ta question est toujours d''actualité.
Concernant le nombre $j$, ce qui compte essentiellement c'est $j^2=-j-1$ et $\dfrac{1}{j}=j^2=\overline{j}$.
Par exemple : $(j-1)(j+1)=-j-2$ et $j^{2}-j+1=-2j$
donc $\dfrac{1}{(j-1)(j+1)(j^{2}-j+1)}=\dfrac{1}{2(j+2)j}=\dfrac{1}{2(j-1)}=\dfrac{1}{6}(\overline{j}-1)=-\dfrac{1}{4}\Bigl(1+\dfrac{i}{\sqrt3}\Bigr)$.
Pour ce qui est de $|j-1|^2=3$, aucun calcul, c'est le cercle trigonométrique et Pythagore
ta première identité A est exacte
et tu vas l'utiliser pour le calcul de la seconde B en évitant la présence de j au dénominateur.
Tu pars de $j^3 +1 = (j + 1)(j^2 - j + 1)$ soit donc $\frac{1}{j^2 - j + 1} = \frac{j + 1}{2}$, puisque $j^3 = 1$.
Soit donc $B = \frac{1}{(j - 1)(j + 1)(j^2 - j + 1)}=\frac{j + 1}{2(j - 1)(j + 1)} = \frac{1}{2(j - 1)}$ et en utilisant l'identité A :
$B = \frac{1 - j}{6j} = \frac{1}{6j} - \frac{1}{6} = \frac{-j-1}{6} - \frac{1}{6}$, puisque $\frac{1}{j} = j^2 = - j - 1$
et donc finalement : $B= -\frac{j}{6} - \frac{1}{3}$.
Cordialement.