Je ne comprends pas ta solution @JLapin surtout la fin. Le début tu utilises que l'intérieur est le plus grand ouvert qui contient l'ensemble. Mais la suite avec le rang je n'ai pas compris.
1) $Int(X)$ est le plus grand ouvert contenu dans $X$. $M$ appartient à l'intérieur de $X$ si et seulement si il existe $r>0$ tel que $B(M,r) \subset X$.
2) $U$ est un ouvert de $M_n(\C)$ si pour toute matrice $M \in U$, il existe $r>0$ tel que $B(M,r) \subset U$.
Mais $B(M,r)$ c'est quoi ? En particulier prenons $M=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$ comme dans l'exemple de @Jmf et $r>0$ étant donné, qu'est-ce que l"ensemble $B(M,r)$ ?
Ou alors si je considère la matrice $M_\varepsilon=\begin{pmatrix}1+\varepsilon&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$ qu'est-ce que tu peux en dire ?
Plus généralement soit $M$ une matrice carrée de taille $n$, de rang $r$. Soit $m$ un entier entre $r$ et $n$. Peux-tu montrer que $M$ est limite d'une suite de matrices de rang $m$ ?
@Maraichu dans le programme de prépa, on se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie. Il n'y a pas de problème de topologie.
Je ne comprends pas le : "s'il contient une autre matrice, elle est de rang $1$ ou $0$, donc limite d'une suite de matrices de rang $2$".
C'est vrai, mais il faut faire attention aux raccourcis: il existe des topologies qui ne sont pas équivalentes à la topologie donnée par une quelconque norme. Par exemple, je peux m'amuser à prendre la topologie discrète: tous les sous-ensembles sont ouverts ! Le théorème classique qu'on voit en prépa c'est le fait que deux normes quelconques induisent la même topologie. Il n'y a donc qu'une seule topologie induite par les normes. Par contre, rien ne t'empêche de créer d'autres topologies sauvages, qui ne sont pas induites par une norme (comme celle que j'ai donné par exemple). Mais dans notre cas, effectivement, tu travailles avec des boules, donc à partir de là ça veut dire que tu travailles avec une norme. Mais je m'interroge sur la norme que tu prends, puisqu'on peut en choisir plusieurs ! (ma question était mal posée du coup).
En ce qui concerne la limite de matrices de rang $2$, je te suggère de prendre une matrice de rang $1$ la plus simple possible. Par exemple, celle qu'on voit apparaître dans la décomposition donnée par le théorème du rang (un $1$ en haut à gauche, et $0$ partout ailleurs). Est ce que tu saurais trouver une suite de matrices de rang $2$ (ou même plus si la taille le permet, comme dans l'exo de shazeriahm) qui converge vers cette matrice ?
Regarde au moins l'exemple que je t'ai donné avant de dire je ne comprends pas.!!!
@Jlapin te donne la solution ... Tu ne comprends pas.... On te guide pour comprendre .... mais tu n'en tiens pas compte.... tu préfères dire que tu ne comprends pas au lieu de réfléchir à l'exemple qui permet de comprendre.
Voici ce que j'ai fait mais je ne comprends pas pourquoi on regarde les matrices de rang O ou 1 ni où est la contradiction ni le rapport avec l'intérieur.
Bon tu travailles dans $M_n(\C) $ sans connaître la topologie, la notion de limite,... bref que dalle. Sans base, tu ne peux arriver à rien.
La limite de $N_1$ (au passage notation débile) c'est $J_1$ et non $M.$ Horrible!!!!
Quand on est sérieux, on commence par travailler sur la topologie d'EVN et de dimension finie. On fait des exercices très simples, sans corrigé, pour montrer qu'on a bien compris la notion.
Ensuite on peut s'attaquer à des exercices plus élaborés, mais faciles tout de même, comme celui-ci. Mais avant on apprend le b-a-b-a; ce que tu ne fais jamais...
tu préfères dire que tu ne comprends pas au lieu de réfléchir à l'exemple qui permet de comprendre.
L'exemple en question permet de comprendre ... oui et non. Si je vais voir mon boucher, et que je lui montre cet exemple, je ne suis pas sûr qu'il va comprendre. Pareil si je vais voir mon ophtalmo, pas sûr qu'il comprenne. Pareil si je vais voir un prof de maths pris au hasard au collège du coin.
Et je ne vois aucun indice qui pourrait me faire penser que OShine pourrait comprendre mieux que ces 3 personnes.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je ne comprends pas pourquoi on prend que les matrices de rang 0 ou 1. Il y a des matrices de rang 5 non inversibles. Je ne vois pas où est la contradiction non plus.
Et alors ta dernière phrase me fait peur. "Pour calculer la limite d'une matrice calcule la limite de chaque coefficient. " Elle n'est pas fausse mais elle me fait penser que tu ne sais pas pourquoi? Autrement dit tu es dans un EVN de dimension finie et te ne sais pas très bien le pourquoi de cette phrase. Plus précisément tu ne sais sais pas très bien la topologie, la topologie, qu'il y a dans cet espace, les ouverts , les fermés , les limites c'est quoi. En particulier se contenter de calculer une limite uniquement de cette façon c'est certain que tu vas te planter à chaque étape, dans chaque exos.
Qui dit séries de matrices, dit convergence, limite , topologie...
Pour avoir zapper le baba ... tu vas droit dans le mur...
Exemple avant de voir les séries sais-tu faire cet exercice ?
$Soit M_n =((1/2\cos(n), 1/3\sin(n)),((1/4 \sin (n), 1/4 ) ).$ $M_n^n$ a-t-elle une limite quand $n$ tend vers l'infini ?
Parce que tu es plus obtus qu'un angle à 189.9° ! Tout le monde s'épuise à te dire que tu ne sais pas faire les exercices, pas plus celui de Bd2017, que celui -ci ou tout autre, simplement parce que TU N'AS PAS LES BASES ! oui, je crie, pour que tu entendes!!! Arrête de polluer ce forum avec ces exercices auquels tu n'entraves que dalle, et TRAVAILLE. Tout ce temps que tu passes à demander de l'aide sur des notions qui au final t'échappent et que tu n'assimiles donc pas, passe le à travailler la topologie par exemple. Vouloir faire de l'analyse sans avoir quelques notions est illusoire... et ne peut faire illusion bien longtemps. Ta réponse au sujet de la boule fermée en dit long "je sais ce que c'est, mais par pour les matrices" ! C'est juste "granguignolesque". Pour rappel, sans connaitre le passé du personnage, j'avais, avec d'autres, tenté de l'aider sur un problème de convergence matricielle et où il disait ne pas connaitre les normes subordonnées... c'était il y a un an! Et Gérard0 m'avait dit de laisser tomber, j'aurai du l'écouter tout de suite, car il prouve ici que j'avais alors perdu mon temps! Parfois, je me demande si ce n'est pas juste un provocateur en fait.
Je voudrais quand même informer toutes les excellentes personnes qui donnent du temps à ce triste sire et ne lui rendent pas service, d'une part, que ce OShine sévit aussi sur Youtube sous le pseudo NicChagall ... et comme dans le fil Agreg Interne, se permet, à mots à peine, voilés d'insulter les personnes qui travaillent réellement à progresser.
Franchement, il y avait un petit moment que je n'avais pas lu un de ses innombrables post, je ne sais pas ce qui m'a pris... mais voilà, j'ai lu! Et vous aurez compris que ce personnage odieux ne me fait plus rire! Qui accepterait-il d'aider lui? Il se rirait volontiers de ceux dont il se sent supérieur.
Allez, j'arrête avec mon aigreur, je me défoule ici peut être parcque je suis déçu de mes oraux d'agreg pourtant "si simple en 4h (????) avec les bouquins en plus" non mais franchement, faut vraiment être un gros naze pour se planter quoâ !
@TrackTrick si je connais tout le cours pour faire cet exercice, j'ai vu ces notions de comatrice, intérieur, adhérence, rang etc... Tu n'as pas encore l'agreg et tu te permets de critiquer des personnes comme moi qui veulent apprendre, et je doute que tu saches faire cet exercice les doigts dans le nez.
@bd2017 tu poses trop de questions je ne sais pas faire 15 choses à la fois, et ton exercice n'est pas facile je ne vois pas il me faudrait chercher longtemps peut être 1 heure pour trouver l'idée, mais je suis déjà en train d'essayer de comprendre l'exercice en cours. Déjà jmf m'a noyé avec ses équations de comatice.
@raoul.S parce que le rang de la comatrice peut valoir uniquement $0$, $1$ où $n \geq 3$ ? Ici, l'intérieur de $X$ est inclus dans $X$ donc il contient des comatrices... Je ne comprends pas pourquoi c'est impossible qu'une matrice de rang $0$ ou $1$ soit limite d'une matrice de rang $2$. Où est la contradiction ?
@JLapin ton exercice n'a pas de rapport avec l'exercice en cours j'ai l'impression.
OShine se permet de critiquer un type qui passe l'agreg. Quel manque d'éducation. OShine , tu dis que tu veux apprendre ?????? Tu te fous vraiment du monde. Tu veux apprendre quoi ? Pas les maths en tout cas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@OShine oui c'est parce que le rang d'une comatrice ne peut valoir que 0, 1 ou $n$ selon le point a). Donc les matrices qui sont dans $X$ ont des rangs égaux à 0,1 ou $n$.
Tu sais que $GL_n(\C)\subset X$ et que $GL_n(\C)$ est ouvert. Donc $GL_n(\C)$ est contenu dans l'intérieur de $X$ (qui est le plus grand ouvert contenu dans $X$).
S'il existait $B\in int(X)\setminus GL_n(\C)$ alors on aurait forcément $\mathrm{rg}(B)=0$ ou $\mathrm{rg}(B)=1$ (pas $\mathrm{rg}(B)=n$ car autrement $B$ serait dans $GL_n(\C)$) et par conséquent il existerait une suite $(B_k)$ de matrices de rang 2 qui convergerait vers $B$. Donc pour $k$ assez grand, les termes de cette suite finiraient par être dans $int(X)$ (ceci car $int(X)$ est un ouvert contenant $B$ qui est la limite de la suite). Donc on se retrouverait avec des matrices de rang 2 dans $int(X)$ donc dans $X$, ce qui est impossible.
@OS un peu de respect s'il te plaît. Être admissible à l'agrégation cela veut dire qu'on sait ne pas patatauger comme tu le fais avec cet exercice surtout que tu as le corrigé. D'autre part je ne cherchais pas à te donner un nouvel exercice mais simplement à te montrer que tu abordes un exercice sans les notions de bases minimales
Te donner un exercice plus facile ce n'est pas pour te compliquer la vie mais pour te mettre dans la bonne direction.
Puisque que tu as toutes les notions pour faire cet exercice alors la matrice identité est elle dans l'intérieur de la boule de centre O et de rayon 2?
OShine, une fois de plus, tu n'as rien compris à mes propos... que j'ai ou non l’agrégation n'est pas le souci, et ne m'autoriserait pas plus, ou pas moins de choses ! Lis bien, c'est comme les énoncés, avant de répondre. Quand les personnes éclairées te proposent des petits exercices "annexes", c'est parce qu’ils ont compris, eux, que tu n'avais pas compris !
Au vu des énormités que tu débites à longueur de post, le minimum de ce que je te demande est de faire preuve d'humilité. Je ne me lancerai pas ici dans une liste exhaustive, mais ma sourde colère vient d'un de tes "méfaits" sur le chat d'une vidéo de Gilles Bailly Maitre, ou des personnes comme moi cherchaient simplement à se rassurer à l'issue des écrits. Discussion dans laquelle tu t'es invité sans aucune légitimité pour dénoncer le niveau bien bas à tes yeux de l'agreg interne... je suis tombé de ma chaise !
Quand à faire un exercice les doigts dans le nez, j'évite car j'ai généralement besoin d'oxygéner mon cerveau pour réfléchir... j'arrête là, et me promets de ne plus y revenir.
Oshine doit avoir un problème psy très important, et vu le déni dans lequel il est je pense qu'il ne consulte pas et ça se voit que ça s'empire d'année en année... De notre côté on ne peut rien faire pour lui
@raoul.S merci il y a juste un point que je ne comprends pas. Pour k assez grand les termes de la suite sont dans Int(X). Je ne vois pas ça fait appel à quel théorème du cours.
@bd2017 Si je prends la norme $||M||= \max | m_{ij}|$ alors : $B(O,2)= \{ M \in M_n( \R) \ | ||M- O|| \leq 2 \}$. Ainsi, $\boxed{I_n \in B(O,2)}$ car $||I_n -O|| = ||I_n||=1$. Tes autres questions je ne comprends pas les notations. @Magnéthorax je relis des cours sur la topologie des espaces vectoriels normés sur les ouverts et je ne trouve rien qui explique ce passage qui me bloque. @JLapin.
Soit $\ell \in ]a,b[$. Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $\ell$. Montrons que $u_n \in [a,b]$.
Soit $\varepsilon >0$. Il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies \ell - \varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon$. On veut $\ell + \varepsilon \leq b$ et $\ell - \varepsilon \geq a$. Donc $\varepsilon \leq b- \ell$ et $\varepsilon \leq \ell -a$. Prenons $\boxed{\varepsilon = \min (b- \ell , \ell -a)>0}$ ce qui donne le résultat voulu.
Réciproquement, supposons que pour toute suite $(u_n)$ qui converge vers $\ell$ on a $u_n \in [a,b]$. Montrons que $\ell \in ]a,b[$.
Je ne trouve pas la suite $(u_n)$ qui convient. J'ai essayé $u_n = \ell + \dfrac{a}{2^n}$ sans succès si $a$ est négatif ça pose des problèmes.
Soit la suite constante $u_n=a$ , elle converge vers $l=a$. Montrons que $a \in ]a,b[$
Selon moi, ça va être difficile de montrer que $a \in ]a,b[$
Ton 'réciproquement', tu n'arrives pas à le démontrer, bien, c'est rassurant, car en un dixième de seconde, tu aurais dû voir qu'il est faux. En plus, erreur de logique, tu dois montrer un résultat 'Pour toute suite $(u_n)$' et tu dis que tu cherches une suite $(u_n)$ qui convient.
Un lycéen qui ferait ses erreurs, on dirait : 'Il a été victime d'une mauvaise orientation, il n'a rien à faire au lycée dans une section maths'.
Tes exercices sont de niveau haut, mais tes fautes sont de niveau 'lycéen très moyen'.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran ran Le "pour toute suite" est dans l'hypothèse et non dans la conclusion donc on peut choisir une suite $(u_n)$ qui convient. Même si je n'arrive pas à traiter la réciproque, je n'ai pas fait d'erreur de logique.
Quelle définition du cours de topologie permet d'expliquer que pour $k$ assez grand les termes de la suite sont dans $Int(X)$ ? J'ai beau avoir cherché partout sur internet, je ne trouve pas.
Quelle définition du cours de topologie permet d'expliquer que pour $k$ assez grand les termes de la suite sont dans $Int(X)$ ?
C'est un exo que tu peux faire. Même si tu es constamment bloqué celui-ci tu peux vraiment le faire. Je te donne l'énoncé dans le cas des evn :
Soit $(E, \|.\|)$ un evn et soit $(x_n)$ une suite qui converge vers $x$. Montrer que pour tout ouvert $O$ de $E$ si $x\in O$ alors tous les termes de la suite $(x_n)$ sont dans $O$ à partir d'un certain rang. Je traduis en symboles la dernière partie de la phrase (je sais que tu adores les symboles )
Il faut donc montrer : $\exists k\in \N, \forall n\in \N, n\geq k \Rightarrow x_n\in O$.
Quelle définition du cours de topologie permet d'expliquer que pour $k$ assez grand les termes de la suite sont dans $Int(X)$ ? J'ai beau avoir cherché partout sur internet, je ne trouve pas.
C'est l'exo de JLapin sur les suites que tu es en train de faire appliqué aux matrices.
@TrackTrick si je connais tout le cours pour faire cet exercice, j'ai vu ces notions de comatrice, intérieur, adhérence, rang etc... Tu n'as pas encore l'agreg et tu te permets de critiquer des personnes comme moi qui veulent apprendre, et je doute que tu saches faire cet exercice les doigts dans le nez.
Il y a un petit souci de jugement ici : ce n'est pas parce que tu connais tous le cours que tu sais faire l'exercice. Dans l'absolu, cela devrait être vrai, mais dans les faits, c'est faux, sinon on se contenterait de faire de la recherche à la sortie de la Terminale. Il faut aussi l'habitude de la manipulation de certains concepts mathématiques, le plus souvent élémentaire. L'exercice de JLapin en est un exemple. Tu ne vois pas de lien avec l'exercice, mais au contraire il a un lien très important qu'il te faut comprendre, a minima, avant de t'attaquer à cet exercice à base de comatrices.
Je plussois ce qu'a dit, bien que durement de prime abord (mais je peux le comprendre) TrackTrick. Tu ne progresseras pas à essayer de t'attaquer à des notions un peu "élevées" sans avoir réussi à obtenir une structure stable. Beaucoup de monde ici te le dit, certains de façon rude je l'admet, mais à un moment donné il te faut te poser les bonnes questions si tu veux évoluer.
Dans le cas contraire ... Eh bien, tant pis, tu te rendras peut-être compte dans 10 ans de tout ce temps que tu as perdu.
[Un souci, des soucis. AD] EDIT: Merci pour la correction de ce "souci".
Etrangement, ni le résultat de @raoul.S ni le résultat de l'exercice de @JLapin ne figurent dans mon livre ou dans les cours que j'ai parcouru sur le net. Comment je peux deviner un résultat qui n'est pas dans les cours que j'étudie ? J'essaie de résoudre l'exercice de @raoul.S. Soit $O$ un ouvert de $E$. Supposons que $x_n \longrightarrow x$ alors $||x_n -x|| \longrightarrow 0$. Donc $\forall \varepsilon >0 \ \ \exists n_0 \in \N \ \ n \geq n_0 \implies ||x_n-x|| \leq \varepsilon$. Comme $O$ est un ouvert de $E$, si $x \in O$ il existe $r>0$ tel que $B(x,r) \subset O$. Donc $\boxed{\exists r>0 \ \ \forall y \in E \ \ ||x-y|| \leq r \implies y \in O}$. On choisit $\varepsilon=r>0$ alors $\exists n_1 \in \N \ \ n \geq n_1 \implies ||x_n-x|| \leq r$. Or $x \in O$ donc $x_n \in B(x,r)$ mais $B(x,r) \subset O$ donc $x_n \in O$. On a montré : $\boxed{\exists n_1 \in \N \ \forall n \in \N \ \ n \geq n_1 \ \implies x_n \in O}$.
"Comment je peux deviner un résultat qui n'est pas dans les cours que j'étudie ?"
La définition de "$\left(x_n\right)$ tend vers $\ell$" (ou la notion d'adhérence, d'intérieur) est une notion topologique. Pour les candidats à un concours comme celui dont est extrait cet exercice, personnes qui ont étudié cela, pas de problème.
Un prof de lycée peut balancer la définition de $\left(x_n\right)$ converge vers $\ell$ avec une formulation qui fait intervenir "tout intervalle ouvert qui contient $\ell$" car il pense que les différents types d'intervalles sont plus ou moins compris sur la base d'une vague intuition géométrique, alors qu'un prof de bac+1 va plutôt donner une définition $\varepsilon$-euse car il pense que la valeur absolue est une chose bien connue. Quoiqu'il en soit, un étudiant en maths doit faire le lien entre les deux à un moment ou à un autre.
OS tu retrouves les méfaits d'un abus que je t'ai déjà signalé : croire que toutes les limites se définissent à l'aide d'intervalles centrés.
Depuis le temps tu devrais savoir que la définition de limite commence par "pour tout voisinage de ..." et non par "quelque soit $\varepsilon$" et aussi savoir qu'un ouvert est voisinage de tous ses points.
Réponses
Le début tu utilises que l'intérieur est le plus grand ouvert qui contient l'ensemble.
Mais la suite avec le rang je n'ai pas compris.
-- Schnoebelen, Philippe
1) $Int(X)$ est le plus grand ouvert contenu dans $X$. $M$ appartient à l'intérieur de $X$ si et seulement si il existe $r>0$ tel que $B(M,r) \subset X$.
2) $U$ est un ouvert de $M_n(\C)$ si pour toute matrice $M \in U$, il existe $r>0$ tel que $B(M,r) \subset U$.
Qu'est ce que tu ne comprends pas dans la preuve de JLapin ?
Mais je sais que si $E$ est un espace vectoriel et $x \in E$ alors : $B(x,r)= \{y \in E \ | \ || x-y|| \leq r \}$ si on parle de boule fermée.
@Maraichu dans le programme de prépa, on se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie. Il n'y a pas de problème de topologie.
Je ne comprends pas le : "s'il contient une autre matrice, elle est de rang $1$ ou $0$, donc limite d'une suite de matrices de rang $2$".
Le théorème classique qu'on voit en prépa c'est le fait que deux normes quelconques induisent la même topologie. Il n'y a donc qu'une seule topologie induite par les normes. Par contre, rien ne t'empêche de créer d'autres topologies sauvages, qui ne sont pas induites par une norme (comme celle que j'ai donné par exemple).
Mais dans notre cas, effectivement, tu travailles avec des boules, donc à partir de là ça veut dire que tu travailles avec une norme. Mais je m'interroge sur la norme que tu prends, puisqu'on peut en choisir plusieurs ! (ma question était mal posée du coup).
En ce qui concerne la limite de matrices de rang $2$, je te suggère de prendre une matrice de rang $1$ la plus simple possible. Par exemple, celle qu'on voit apparaître dans la décomposition donnée par le théorème du rang (un $1$ en haut à gauche, et $0$ partout ailleurs). Est ce que tu saurais trouver une suite de matrices de rang $2$ (ou même plus si la taille le permet, comme dans l'exo de shazeriahm) qui converge vers cette matrice ?
C'est $P^{-1} N_1 Q$ qui tend vers $M$.
Si je viens de voir les séries matricielles. Pour calculer la limite d'une matrice calcule la limite de chaque coefficient.
L'exemple en question permet de comprendre ... oui et non.
Si je vais voir mon boucher, et que je lui montre cet exemple, je ne suis pas sûr qu'il va comprendre.
Pareil si je vais voir mon ophtalmo, pas sûr qu'il comprenne.
Pareil si je vais voir un prof de maths pris au hasard au collège du coin.
Et je ne vois aucun indice qui pourrait me faire penser que OShine pourrait comprendre mieux que ces 3 personnes.
Je ne vois pas où est la contradiction non plus.
Lapin tu m'as posé cette question il y a quelques mois.
@bd2017 tu poses trop de questions je ne sais pas faire 15 choses à la fois, et ton exercice n'est pas facile je ne vois pas il me faudrait chercher longtemps peut être 1 heure pour trouver l'idée, mais je suis déjà en train d'essayer de comprendre l'exercice en cours. Déjà jmf m'a noyé avec ses équations de comatice.
@raoul.S parce que le rang de la comatrice peut valoir uniquement $0$, $1$ où $n \geq 3$ ? Ici, l'intérieur de $X$ est inclus dans $X$ donc il contient des comatrices...
Je ne comprends pas pourquoi c'est impossible qu'une matrice de rang $0$ ou $1$ soit limite d'une matrice de rang $2$. Où est la contradiction ?
@JLapin ton exercice n'a pas de rapport avec l'exercice en cours j'ai l'impression.
OShine , tu dis que tu veux apprendre ?????? Tu te fous vraiment du monde.
Tu veux apprendre quoi ? Pas les maths en tout cas.
Tu sais que $GL_n(\C)\subset X$ et que $GL_n(\C)$ est ouvert. Donc $GL_n(\C)$ est contenu dans l'intérieur de $X$ (qui est le plus grand ouvert contenu dans $X$).
S'il existait $B\in int(X)\setminus GL_n(\C)$ alors on aurait forcément $\mathrm{rg}(B)=0$ ou $\mathrm{rg}(B)=1$ (pas $\mathrm{rg}(B)=n$ car autrement $B$ serait dans $GL_n(\C)$) et par conséquent il existerait une suite $(B_k)$ de matrices de rang 2 qui convergerait vers $B$. Donc pour $k$ assez grand, les termes de cette suite finiraient par être dans $int(X)$ (ceci car $int(X)$ est un ouvert contenant $B$ qui est la limite de la suite). Donc on se retrouverait avec des matrices de rang 2 dans $int(X)$ donc dans $X$, ce qui est impossible.
Bref il y a pas mal de notions à maîtriser...
D'autre part je ne cherchais pas à te donner un nouvel exercice mais simplement à te montrer que tu abordes un exercice sans les notions de bases minimales
Te donner un exercice plus facile ce n'est pas pour te compliquer la vie mais pour te mettre dans la bonne direction.
Puisque que tu as toutes les notions pour faire cet exercice alors la matrice identité est elle dans l'intérieur de la boule de centre O et de rayon 2?
Pour k assez grand les termes de la suite sont dans Int(X).
Je ne vois pas ça fait appel à quel théorème du cours.
Si je prends la norme $||M||= \max | m_{ij}|$ alors : $B(O,2)= \{ M \in M_n( \R) \ | ||M- O|| \leq 2 \}$.
Ainsi, $\boxed{I_n \in B(O,2)}$ car $||I_n -O|| = ||I_n||=1$.
Tes autres questions je ne comprends pas les notations.
@Magnéthorax je relis des cours sur la topologie des espaces vectoriels normés sur les ouverts et je ne trouve rien qui explique ce passage qui me bloque.
@JLapin.
- Soit $\ell \in ]a,b[$. Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $\ell$. Montrons que $u_n \in [a,b]$.
Soit $\varepsilon >0$. Il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies \ell - \varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon$.On veut $\ell + \varepsilon \leq b$ et $\ell - \varepsilon \geq a$. Donc $\varepsilon \leq b- \ell$ et $\varepsilon \leq \ell -a$.
Prenons $\boxed{\varepsilon = \min (b- \ell , \ell -a)>0}$ ce qui donne le résultat voulu.
- Réciproquement, supposons que pour toute suite $(u_n)$ qui converge vers $\ell$ on a $u_n \in [a,b]$. Montrons que $\ell \in ]a,b[$.
Je ne trouve pas la suite $(u_n)$ qui convient. J'ai essayé $u_n = \ell + \dfrac{a}{2^n}$ sans succès si $a$ est négatif ça pose des problèmes.Selon moi, ça va être difficile de montrer que $a \in ]a,b[$
Ton 'réciproquement', tu n'arrives pas à le démontrer, bien, c'est rassurant, car en un dixième de seconde, tu aurais dû voir qu'il est faux.
En plus, erreur de logique, tu dois montrer un résultat 'Pour toute suite $(u_n)$' et tu dis que tu cherches une suite $(u_n)$ qui convient.
Un lycéen qui ferait ses erreurs, on dirait : 'Il a été victime d'une mauvaise orientation, il n'a rien à faire au lycée dans une section maths'.
Tes exercices sont de niveau haut, mais tes fautes sont de niveau 'lycéen très moyen'.
Le "pour toute suite" est dans l'hypothèse et non dans la conclusion donc on peut choisir une suite $(u_n)$ qui convient.
Même si je n'arrive pas à traiter la réciproque, je n'ai pas fait d'erreur de logique.
Quelle définition du cours de topologie permet d'expliquer que pour $k$ assez grand les termes de la suite sont dans $Int(X)$ ? J'ai beau avoir cherché partout sur internet, je ne trouve pas.
Soit $(E, \|.\|)$ un evn et soit $(x_n)$ une suite qui converge vers $x$. Montrer que pour tout ouvert $O$ de $E$ si $x\in O$ alors tous les termes de la suite $(x_n)$ sont dans $O$ à partir d'un certain rang. Je traduis en symboles la dernière partie de la phrase (je sais que tu adores les symboles
Il faut donc montrer : $\exists k\in \N, \forall n\in \N, n\geq k \Rightarrow x_n\in O$.
L'exercice de JLapin en est un exemple. Tu ne vois pas de lien avec l'exercice, mais au contraire il a un lien très important qu'il te faut comprendre, a minima, avant de t'attaquer à cet exercice à base de comatrices.
Je plussois ce qu'a dit, bien que durement de prime abord (mais je peux le comprendre) TrackTrick. Tu ne progresseras pas à essayer de t'attaquer à des notions un peu "élevées" sans avoir réussi à obtenir une structure stable. Beaucoup de monde ici te le dit, certains de façon rude je l'admet, mais à un moment donné il te faut te poser les bonnes questions si tu veux évoluer.
EDIT: Merci pour la correction de ce "souci".
Comment je peux deviner un résultat qui n'est pas dans les cours que j'étudie ?
J'essaie de résoudre l'exercice de @raoul.S.
Soit $O$ un ouvert de $E$.
Supposons que $x_n \longrightarrow x$ alors $||x_n -x|| \longrightarrow 0$.
Donc $\forall \varepsilon >0 \ \ \exists n_0 \in \N \ \ n \geq n_0 \implies ||x_n-x|| \leq \varepsilon$.
Comme $O$ est un ouvert de $E$, si $x \in O$ il existe $r>0$ tel que $B(x,r) \subset O$.
Donc $\boxed{\exists r>0 \ \ \forall y \in E \ \ ||x-y|| \leq r \implies y \in O}$.
On choisit $\varepsilon=r>0$ alors $\exists n_1 \in \N \ \ n \geq n_1 \implies ||x_n-x|| \leq r$.
Or $x \in O$ donc $x_n \in B(x,r)$ mais $B(x,r) \subset O$ donc $x_n \in O$.
On a montré : $\boxed{\exists n_1 \in \N \ \forall n \in \N \ \ n \geq n_1 \ \implies x_n \in O}$.
La définition de "$\left(x_n\right)$ tend vers $\ell$" (ou la notion d'adhérence, d'intérieur) est une notion topologique. Pour les candidats à un concours comme celui dont est extrait cet exercice, personnes qui ont étudié cela, pas de problème.
Un prof de lycée peut balancer la définition de $\left(x_n\right)$ converge vers $\ell$ avec une formulation qui fait intervenir "tout intervalle ouvert qui contient $\ell$" car il pense que les différents types d'intervalles sont plus ou moins compris sur la base d'une vague intuition géométrique, alors qu'un prof de bac+1 va plutôt donner une définition $\varepsilon$-euse car il pense que la valeur absolue est une chose bien connue. Quoiqu'il en soit, un étudiant en maths doit faire le lien entre les deux à un moment ou à un autre.