Somme alternée des inverses modulo un nombre premier

Bonjour
Je bloque sur un exercice d'arithmétique qui semble accessible au niveau prépa (RMS oral 2021) et qui peut s'énoncer ainsi

Soit p>=5 un nombre premier, montrer que la somme des coefficients binomiaux k parmi p, pour k compris entre 1 et partie entière de 2p/3, est divisible par p^2.
Une formulation équivalente : montrer que la somme alternée des inverses modulo p des entiers compris entre 1 et partie entière de 2p/3 est nulle.

La première formulation m'a emmené sur les polynômes, sans succès, je ne vois toujours pas comment intégrer la partie entière dans le raisonnement.

La seconde, qui est facile à déduire du premier énoncé, ne me semble pas plus accessible pour l'instant. Merci pour vos lumières !