Valeur d'adhérence d'une suite

Blanc
Blanc
Modifié (April 2022) dans Topologie
Bonjour
Je suis arrêté par la démonstration qui suit  et je vous remercie de m'apporter votre aide.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (April 2022)
    C’est bien écrit « d’indices pairs » et ici l’indice c’est bien $\varphi(k)$. 
    Je ne comprends pas non plus les « dans ce cas ». 
    Par exemple si la sous-suite est la suite elle-même, on n’a pas les « limites bleues ». 
    Éventuellement : « si $A$ est fini alors … » fonctionnerait mieux. 
  • Borelline
    Borelline
    Modifié (April 2022)
    Il est vrai qu'il se peut que A et B soient infinis.
    Voici comment je concluerais :  
    CAS 1 : A est fini, B est infini. Dans ce cas, il existe un certain rang $N_0$ à partir duquel $\varphi(k)$ est toujours impair donc $ \forall k \geq N_0, u_{\varphi(k)} = (-1)^{\varphi(k)} + \frac{1}{\varphi(k)+1} = -1 + \frac{1}{\varphi(k)+1}$, ce qui tend vers $-1$
    CAS 2 : A infini, B est fini. Cas symétrique au précédent.
    CAS 3 : A infini, B infini. On peut alors extraire de $u_{\varphi(k)}$ une suite qui tend vers $1$ et une autre vers $-1$ donc elle ne converge pas.
  • Blanc
    Blanc
    Modifié (April 2022)
    Merci de vos réponses.
    Comment dans le cas 3  est-il possible  par exemple dans le cas A de construire une telle suite  qui tend  vers 1  ?
  • Dom
    Dom
    Hum… je ne comprends pas cette dernière question. 
  • Blanc
    Blanc
    Modifié (April 2022)
    Je veux dire comment fait-on pour extraire ces deux suites  comme mentionné dans le cas   3 de Boreline ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (April 2022)
    Je pense que toute la démonstration citée par Blanc est plus facile à comprendre si on remplace la partie Soit $(u_{\varphi(k)})$ une suite extraite de $(u_n)$ par  Soit $(u_{\varphi(k)})$ une suite extraite de $(u_n)$ convergente.

    En effet dans ce cas soit $A$ est infini soit $B$ est infini mais on ne peut pas avoir les deux car une suite qui converge ne possède qu'une valeur d'adhérence.
  • Dom
    Dom
    Ha oui. En effet, ajouter « convergente » change les choses. 
    Cependant, dans un tel cas, je trouve qu’on s’y prend comme un manche. Autant tout de suite regarder la sous-suite des termes d’indices pairs (resp. impairs). 
  • Borelline
    Borelline
    Modifié (April 2022)
    Blanc a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2353700/#Comment_2353700
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    En prenant par exemple $(u_{\varphi(k)})_{k \in A}$
    Dom a dit : [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    Prendre directement les termes pairs et impairs permet de dire que $1$ et $-1$ sont valeurs d'adhérence mais pas que ce sont les seules.
  • Dom
    Dom
    Il suffit d’ajouter qu’il s’agit d’une partition de $\mathbb N$. 
  • Blanc
    Blanc
    Je m'adresse à Boreline

    Tu proposes de prendre A comme ensemble des indices  mais A n'est pas dans N puisque A est un ensemble de termes.  
    Il y a sans doute un artifice technique qui m'échappe.  Merci de prendre la patience de détailler les choses.
  • Borelline
    Borelline
    Ah oui pardon pour cette imprécision ! J'avais plutôt considérer $A = \{k \in \mathbb{N}, \varphi(k) \text{ est pair} \}$ et $B = \{k \in \mathbb{N}, \varphi(k) \text{ est impair} \}$.
    Ce qui donne :  
    CAS 1 : A est fini, B est infini. Dans ce cas, il existe un certain rang $N_0$ à partir duquel $\varphi(k)$ est toujours impair donc $ \forall k \geq N_0, u_{\varphi(k)} = (-1)^{\varphi(k)} + \frac{1}{\varphi(k)+1} = -1 + \frac{1}{\varphi(k)+1}$, ce qui tend vers $-1$
    CAS 2 : A infini, B est fini. Cas symétrique au précédent.
    CAS 3 : A infini, B infini. On peut alors extraire de $u_{\varphi(k)}$ une suite qui tend vers $1$ et une autre vers $-1$ : en prenant par exemple $(u_{\varphi(k)})_{k \in A}$ et $(u_{\varphi(k)})_{k \in B}$
  • Blanc
    Blanc
    Modifié (April 2022)
    pour Boreline
    Merci pour ta réestponse.
    Ce n'est plus le même ensemble A que celui du corrigé que je ne comprenais pas et peut-être fallait-il entendre A comme tu le proposes mais ce n'est plus la même chose. Je suis pourtant persuadé d'avoir recopié le corrigé tel quel et une ambiguïté subsiste si l'on parle des termes d'indices pairs ou impairs. Il peut s'agir de la définition que tu proposes ou bien du  A tel que je l'ai donné au début et qui semble adoptée par plusieurs corrigés.
    Je pense qu'ensuite il faut appliquer le fait qu'une partie infinie de N peut être numérotée à l'aide d'un application strictement croissante qui en fait une partie dénombrable.
    Merci de me donner ton avis.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 21

CidrolinMath CossMatricule_63gerard0john_johnnicolas.patroispozzarsway +13 Invités