Espace localement compact

Keynes · April 2022

Bonjour
On définit $\mathbb{R}^{\infty}=\{(x_k) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\mid x_k=0, \ \mbox{sauf pour un nombre fini d'indices } k\in \mathbb{N} \}$, muni du produit scalaire

$ \langle (x_k),(y_k) \rangle=\sum_{k\in \mathbb{N}}x_ky_k $
Je souhaite vérifier que $ \mathbb{R}^{\infty}$ n'est pas localement compact.
Une tentative sans succès quelqu'un peut-il m'aider ?

raoul.S · April 2022

Tu peux montrer que si $\mathbb{R}^{\infty}$ était localement compact alors il existerait $r>0$ tel que la boule fermée $\overline{B(0,r)}$ soit compacte. Que dire alors de la suite $(re_n)$ où $(e_n)$ est la base canonique de $\mathbb{R}^{\infty}$ ?

Keynes · April 2022

@raoul.S la suite $re_n$ admettra une sous-suite qui convergerait dans $ \overline{B}(0,r)$
soit $ v_n=re_{\phi(n)}$ cette sous-suite
et $\ell$ sa limite alors $\|\ell\|^2=\lim_{n,p\to \infty}\langle v_n,v_{n+p}\rangle =0$.

Chaurien · April 2022

https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Riesz#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_Riesz

Keynes · April 2022

@Chaurien Merci c'est bien $ F_n=\{(x_k) \in \mathbb{R}^{n}\mid x_k=0 \ \mbox{sauf pour un nombre fini d'indices }k\in \mathbb{N} \}$
On a $ \bigcup_{n\geq 1}F_n\subset \mathbb{R}^{\infty} $
donc $ \dim( \mathbb{R}^{\infty} )=\infty$ donc $ \mathbb{R}^{\infty} $ n'est pas localement compact.

raoul.S · April 2022

Je pensais que le théorème de Riesz n'avait pas encore été vu.

Autrement sans Riesz il suffit de remarquer que la distance entre deux termes distincts quelconques de la suite $(re_n)$ vaut toujours $r\sqrt{2}$ et donc cette suite n'a pas de valeurs d'adhérence ce qui est absurde car elle est contenue dans un compact.

Espace localement compact

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