Exo sur Poisson sous la pluie

Comme l'exo a disparu dans l'enfer de la deuxième page en moins de 24 heures, j’écris une solution.

Si $A(x)=\Pr(X=x)$ et $B(y)=\Pr(Y=y)$ alors $A(x)>0$ pour tout $x.$ En effet il existe $y_0$

tel que $B(y_0)>0$ et donc $A(x)\geq \Pr(X=x,Y=y_0)=\Pr(X=x|Y=y_0)B(y_0).$ De même $B(y)>0$ pour tout $y.$ Ensuite

$$\Pr(X=x,Y=y)=B(y)e^{-a(y)}a(y)^x/x!=A(x)e^{-b(x)}b(x)^y/y!$$

Introduisant $A_1(x)$ et $B_1(y)$ tels que

$$e^{A_1(x)}=A(x)e^{-b(x)}x!,\ e^{B_1(y)}=B(y)e^{-a(y)}y!$$

on arrive a

$A_1(x)+y\log b(x)=B_1(y)+x\log a(y),$ et remplaçant $x$ par $x+1$ et en soustrayant on obtient

$$A_1(x+1)-A_1(x)+y\log \frac{b(x+1)}{b(x)}=\log a(y).$$

ce qui entraine que $b(x+1)/b(x)$ est une constante $c_1$ et que $A_1(x+1)-A_1(x)$ est une constante $A_0$. Bref $b(x)=b(0)c_1^x$ et $A_1(x)=A_1(0)+xA_0$. De meme $a(y)=a(0)c_2^y$ et $B_1(y)=B_1(0)+yB_0.$

En résumé $$\Pr(X=x,Y=y)=e^{A_1(0)+xA_0}\frac{b(0)^y}{x!y!}c_1^{xy}=e^{B_1(0)+yB_0}\frac{a(0)^x}{x!y!}c_2^{xy}$$

On voit donc que $e^{A_0}=a(0),$ $e^B_0=b(0)$, $c_1=c_2$ et $A_1(0)=B_1(0)$. En simplifiant les notations en $$a=a(0), \ b=b(0), c=c_1=c_2, \ K(a,b,c)=e^{A_1(0)}$$ on voit que les lois cherchées sont telles qu'il existe $a,b,c>0$ avec de plus $c\leq 1$ tels que

$$\Pr(X=x,Y=y)=K(a,b,c)\frac{a^y}{y!}\frac{b^x}{x!}c^{xy}$$ ou la constante de normalisation $K(a,b,c)$ semble non elementaire