Articles d'Erdős

noix de totos
noix de totos
dans Arithmétique
Certains connaissent sans doute le site, mais voici un endroit où sont stockés les articles d'Erdős, par ordre chronologique.

À lire sans modération. 

https://users.renyi.hu/~p_erdos/Erdos.html

Réponses

  • etanche
    etanche
    @ noix de totos merci pour cette caverne d’Ali Baba. 
  • noix de totos
    noix de totos
    Merci, Etanche, pour ta participation à ce fil qui n'attire pas vraiment les foules !...
  • jmf
    jmf
    Les foules sont parties sur le lien indiqué.
  • noix de totos
    noix de totos
    M'ouais !...
  • Chaurien
    Chaurien
    Je n'ai pas répondu, mais le cœur y est : grand merci à Noix de Totos de nous avoir signalé ce gisement aurifère.
    Maintenant, ceci étant dit, comment en faire un fil de discussion ? Peut-être chacun pourrait-il signaler les écrits d'Erdős qu'il préfère ?
    Déjà, on pourrait retrouver les énoncés simples qu'on peut proposer à des jeunes, et qui sont quand même profonds, comme Erdős-Mordell, Erdős-Anning, Erdős-Szekeres, et j'en oublie...
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.






  • df
    df
    Modifié (March 2022)
    J’ai retrouvé (sur la page mise en ligne par Noix de totos) des notes intéressantes concernant une formulation équivalente du théorème de Sylvester et le résultat de 1934: les coefficients binomiaux ne sont presque jamais des puissances (c’est l’objet du chapitre 3 du livre « Raisonnements divins »).
    La production de Erdös est vraiment impressionnante ! 
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    En relation avec le nombre faramineux de ses publications et de ses collaborateurs, cet "outil" (gratuit) de MathSciNet pour connaître son nombre d'Erdös (ou autre, mais pour Erdös il y a un bouton dédié !)



    Après je bloque.
  • JLapin
    JLapin
    Merci !

  • Poirot
    Poirot
    Merci noix de totos.

    Pour citer un joli résultat d'Erdös que j'aime bien : tout nombre réel non nul est le produit de deux nombres de Liouville.
  • gai requin
    gai requin
    On m'a dit qu'Erdös testait souvent un nouvel interlocuteur avec le problème suivant :
    Soit un entier $n\geq 1$.
    Montrer que dans toute partie de $[[1,2n]]$ à $n+1$ éléments, il existe deux éléments distincts tels que l'un divise l'autre.
  • df
    df
    C’est un beau problème… et une belle application du principe des tiroirs.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    Oui, Gai Requin, je pensais à cet énoncé, mais je n'ai pas retrouvé la référence : 1937 ?
    Il y a aussi celui-ci, posé au restaurant au jeune Lajos Pósa en 1959 : dans toute partie de $[[1,2n]]$ à $n+1$ éléments, il y a deux nombres premiers entre eux.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)

    A conjecture both deep and profound

    is whether a circle is round.

    In a paper of Erdős,

    written in Kurdish,

    a counterexample is found.

    Leo Moser






  • xax
    xax
    C'est impressionnant; cette photo est mimi  :)


    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • noix de totos
    noix de totos
    Modifié (April 2022)
    Merci à tous pour votre participation, riche et intéressante.

    La photo exhibée par xax doit dater de 1985 (sauf erreur, xax confirmera on infirmera) avec le jeune Terence Tao, qui devait avoir une dizaine d'années à l'époque !

    Comme il est plutôt difficile de tout lire, voici une sélection de quelques articles que j'apprécie particulièrement, notamment pour tous ceux qui aiment la théorie multiplicative des nombres :

    https://users.renyi.hu/~p_erdos/1950-05.pdf : ou comment, en quelques lignes, on montre un résultat hautement non trivial. Cette majoration sera par la suite améliorée par divers auteurs, mais tous emploieront des moyens techniques évolués, et n'auront pas ce doigté si particulier que l'on retrouve ici.

    https://users.renyi.hu/~p_erdos/1952-08.pdf : là, on a un véritable article fondateur,  à mon avis. En particulier, le génie d'Erdős se voit très bien dans les lignes (9), (10) et, surtout (11) et (12). Cette idée sera reprise 20 ans plus tard par Wolke, puis sera complètement finalisée par Shiu en 1980, puis par Nair et Tenenbaum en 1998, lorsqu'ils établiront leurs théorèmes respectifs très utilisés actuellement. Tout part de cette décomposition si particulière des entiers, et c'est toute la force d'Erdős de comprendre pourquoi cette décomposition va vraiment fonctionner.

    https://users.renyi.hu/~p_erdos/1948-11.pdf : Erdős étudie ici les entiers n tels que $(n, \varphi(n)) = 1$, que l'on appelle aujourd'hui entiers cycliques, puisque la condition précédente équivaut au fait qu'un groupe d'ordre $n$ la vérifiant est cyclique. Comme dans l'article précédent, Erdős résout ce problème ardu en 4 pages avec une idée de génie : il a compris qu'essentiellement ces entiers $\leqslant x$ sont ceux dont le plus petit facteur premier est $> \log \log x$. Pollack vient tout récemment de publier un article (2022) qui améliore le résultat d'Erdős, là encore en démarrant de son idée et en la renforçant. C'est tout simplement incroyable !
  • xax
    xax
    Modifié (April 2022)
    Oui noix de totos c'était, si j'en crois WIkipédia d'où vient la photo, en 1985 et Terence Tao avait 10 ans. 
    Merci pour tes précisions bien utiles à des gens incompétents comme moi pour apprécier ses contributions.
    J'avais lu quelque part que Selberg n'avait pas été extraordinairement  fair play quant à la reconnaissance des mérites d'Erdős lors de l'attribution de la médaille Fields.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Boécien
    Boécien
    Merci pour ce lien. Les articles de mon année de naissance sont vraiment bien!
  • noix de totos
    noix de totos
    Pour répondre à xax, même si c'est un peu à côté du sujet initial, on pourra consulter ce texte de Goldfeld.

    https://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf
  • df
    df
    Erdös a aussi fait de la théorie additive des nombres au milieu des années 30, d’après la chronologie des documents. L’école Russe s’est illustrée dans ce domaine avec des méthodes en accord avec les clichés qu’on peut avoir de la science Russe: des moyens (parfois) très élémentaires et beaucoup d’ingéniosité et de profondeur. 
    Une notion importante est celle de base. On note $\mathscr{A}, \mathscr{B}, \mathscr{C}$ des sous-ensembles de $\mathbb{N}$ et $a, b, c$ leurs éléments. On définit la suite strictement croissante $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ de tous les entiers $\textbf{distincts}$ de la forme $a+b, \: a \in \mathscr{A}, \: b \in \mathscr{B}$. On peut généraliser ce procédé en additionnant $k+1$ suites: $\mathscr{A}_0, \mathscr{A}_1,…, \mathscr{A}_k$.
    On peut aussi additionner $h$ fois un sous-ensemble $\mathscr{A}$ à lui-même. On note $h\mathscr{A}$ le résultat.

    En théorie additive, il faut-être vigilant sur la présence ou non des $0$ et des $1$ dans les ensembles sur lesquels on travaille ! 
    Si $0 \in \mathscr{B}$ mais $0 \notin \mathscr{A}$, alors $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ contiendra tous les éléments distincts de la forme $a$ ou $a+b$ avec  $a>0, b>0$. 
    Si $0 \in \mathscr{A} \cap \mathscr{B}$, alors $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ contiendra tous les éléments distincts de la forme $a$, $b$ ou $a+b$ avec $a>0, b>0$.
    Pour tout entier fixé $t$, on note $t+\mathscr{A}$ la suite de tous les entiers $t+a, \: a \in \mathscr{A}$.

    Les sommes itérées d’une unique suite $\mathscr{A}$ contenant $0$ (donc de la forme $h\mathscr{A}, h \in \mathbb{N}$) peut donner un ensemble plus grand que $\mathscr{A}$ lui-même.  Mais ce n’est pas toujours le cas ! Un contre-exemple trivial est celui où $\mathscr{A}$ désigne l’ensemble des entiers pairs: alors $2\mathscr{A}=\mathscr{A}$. 
    À l’inverse, il est possible d’obtenir $\mathbb{N}$ à partir d’ensembles plus « éparpillés » que $\mathbb{N}$. Trivialement, si $\mathscr{A}$ désigne l’ensemble des nombres impairs auquel on ajoute $0$, alors $2\mathscr{A}=\mathbb{N}$.

    Qu’en est-il pour des multiples $h>2$ ? On sait, par le théorème de Lagrange, que tout entier positif est somme de $4$ carrés.
    Donc si $\mathscr{A}=\{0, 1, 4, 9, 16, 25,…\}$, alors $4\mathscr{A}=\mathbb{N}$. Plus généralement, soit $\mathscr{A} \subset \mathbb{N}$. Si il existe un entier $h$ tel que $h\mathscr{A}=\mathbb{N}$, $\mathscr{A}$ est appelée une $\textbf{base}$ (additive) d’ordre $h$ (de $\mathbb{N}$). Par exemple, la suite des cubes parfaits est une base d’ordre $9$ de $\mathbb{N}$.

    Si $h$ est le plus petit entier vérifiant cette propriété, on dit que $h$ est l’$\textbf{ordre exact}$ de $\mathscr{A}$. 
    Par exemple, $\mathscr{A}=\{0, 1, 4, 16, 25 ,…,r^2,…\}$ est une base d’ordre exact $4$ car on sait que $3\mathscr{A}$ ne contient pas les entiers congrus à $7$ modulo $8$.

    Soit $\mathscr{A}=\{0, a_1, a_2,…,a_n,…\}, \: \: a_n<a_{n+1}$. On note $\mathscr{A}(n)$, le nombre d’entiers de la suite $\mathscr{A}$ inférieurs ou égaux à $n$ (on ne compte pas $0$ même si il est présent dans la suite).
    On a donc $0 \leq \mathscr{A}(n) \leq n$ et
    \begin{equation}
    0 \leq \frac{\mathscr{A}(n)}{n} \leq 1
    \end{equation}

    Cette fraction prend différentes valeurs pour différents $n$ et une manière de mesurer la densité de la suite $\mathscr{A}$ sur le segment de $1$ à $n$ de la suite des entiers naturels est de calculer la $\textbf{densité de Schnirelmann}$ de $\mathscr{A}$.
    \begin{equation}
    d(\mathscr{A}) = \inf_n \frac{\mathscr{A}(n)}{n}
    \end{equation}

    Soit, par exemple, la suite $\mathscr{A}=\{1, 10, 11, 12, 13,…\}$ et $\mathscr{B}=\{0, 1, 9, 10, 11, 12, …\}$.
    Alors $\mathscr{A}+\mathscr{B}=\{1,2,10,11,12,…,\}$, $d(\mathscr{A})=1/9$ et $d(\mathscr{A}+\mathscr{B})=2/9$.

    Voilà ! À partir de ces quelques outils « rustiques », on peut obtenir plein de résultats remarquables.
    Vous trouverez des développements « élémentaires » dans l’ouvrage $\textbf{Three pearls of number theory}, (A. Y. Khinchin, Dover)$.
    Il s’agit d’un petit fascicule de 64 pages mais très denses (c’est le cas de le dire). L’une de ces trois perles est l’inégalité de Schnirelmann autour de laquelle gravitent les travaux de Erdös.

    $\textbf{Théorème} \: (L.G. Schnirelmann)$
    Si $1 \in \mathscr{A}$ et $0 \in \mathscr{B}$,
    \begin{equation}
    d(\mathscr{A}+\mathscr{B}) \geq d(\mathscr{A}) + d(\mathscr{B}) - d(\mathscr{A})d(\mathscr{B})
    \end{equation}

    Cette inégalité n’est pas triviale si $0 < d(\mathscr{A}) < 1$ et $0 < d(\mathscr{B}) < 1$. Elle a été l’objet de nombreuses recherches visant à l’affiner. Schnirelmann l’a exploitée pour démontrer que toute suite de densité positive, (i.e. telle que $d(\mathscr{A})>0$), est une base de la suite des entiers naturels. Autrement dit, si on additionne un nombre suffisamment grand de suites $\mathscr{A}$, on obtient tous les entiers naturels !

    Le théorème de $\textbf{Mann}$ a lui aussi été l’objet de nombreux travaux.

    $\textbf{Théorème} \: (H.B. Mann)$
    Si $0 \in \mathscr{A} \cap \mathscr{B}$,
    \begin{equation}
     d(\mathscr{A}+\mathscr{B}) \geq \min(1, d(\mathscr{A})+d(\mathscr{B}))
    \end{equation}

    Un étudiant de l’université de Moscou, Alexander Khinchin, l’a prouvé en 1932 pour le cas particulier où $d(\mathscr{A})=d(\mathscr{B})$.
    Vous trouverez des résultats en rapport avec ces travaux dans la note 1938-08 de Erdös.

  • Sylvain
    Sylvain
    Si un jour je retrouve un peu la foi, je consulterai volontiers le lien de noix de totos.
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