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Sphère osculatrice

Modifié (14 Mar) dans Géométrie différentielle
Bonjour et merci d'avance.
Pourriez-vous me confirmer que mon calcul numérique est correct ?

Dans un repère orthonormé $\left(O,\vec {i},\vec {j},\vec {k}\right)$ de $\mathbb {R}^3$
On considère la courbe paramétrée qui dans ce repère est définie par
$x\left(t\right)=5+2\cos\left(t\right)$
$y\left(t\right)=3\sin\left(t\right)$
$z\left(t\right)=5\sin\left(\dfrac {t}{2}\right)$
Pour le point $P_t$ avec $t=\dfrac {1+\sqrt {5}}{2}$ calculer
a) La courbure $\gamma $ et la torsion $\tau $
b) Le rayon $r$ du cercle osculateur et le rayon $R$ de la sphère osculatrice
c) Les coordonnées du centre $W$ du cercle osculateur et les coordonnées du centre $S$ de la sphère osculatrice
Remarque. On se contentera d'une approximation des valeurs numériques à quatre chiffres après la virgule

Solution
a)
$\gamma \approx 0.4423$ la courbure.
$\tau \approx 0.1163$ la torsion.
b)
$r\approx 2.2608$ le rayon du cercle osculateur.
$R\approx 19.5747$ le rayon de la sphère osculatrice.
c)
$W\left(4.6976;0.7854;3.1958\right)$ le centre du cercle osculateur.
$S\left(17.3054;-3.1263;17.4716\right)$ le centre de la sphère osculatrice.
Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
Le vent ne souffle jamais pour ceux qui trouvent l'air respirable car ceux-là sont déjà morts sans le savoir, le vent souffle pour ceux qui sont encore vivants car il n'appartient pas au vent de ressusciter les morts mais de maintenir les vivants en vie.

Réponses

  • Petite précision en attendant que quelqu'un confirme mes calculs

    Pour le repère mobile de Frenet $\left(P_t,\overrightarrow {T},\overrightarrow {N},\overrightarrow {B}\right)$  au point $P_t$ j'ai obtenu  

    $P_t\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)\approx \left(4.905560,2.996654,3.618045\right)$
     
    $\overrightarrow {T}\approx \begin {pmatrix} -0.755702 \\ -0.053586 \\ 0.652720 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

    $\overrightarrow {N}\approx \begin {pmatrix} -0.091971 \\ -0.978087 \\ -0.186779 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

    $\overrightarrow {B}\approx \begin {pmatrix} 0.648426 \\ -0.201180 \\ 0.734214 \end {pmatrix}_{\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k}\right)}$ 

    Le vecteur vitesse étant colinéaire à $\overrightarrow {T}$ et dans ce cas particulier il est aussi de même sens
    Le plan osculateur est engendré par $\overrightarrow {T}$ et $\overrightarrow {N}$
    Le plan rectifiant est engendré par $\overrightarrow {T}$ et $\overrightarrow {B}$
    Le plan normal est engendré par $\overrightarrow {N}$ et $\overrightarrow {B}$
    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
    Le vent ne souffle jamais pour ceux qui trouvent l'air respirable car ceux-là sont déjà morts sans le savoir, le vent souffle pour ceux qui sont encore vivants car il n'appartient pas au vent de ressusciter les morts mais de maintenir les vivants en vie.
  • Modifié (14 Mar)
    Bonsoir,
    C'est un peu curieux de prendre $t=\frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 1 \right)$ mais bon.. avec GeoGebra on trouve une courbure de 0.4423280737...
    Une figure : 


    Peut-être pas une fenêtre de Viviani mais on ne devrait pas en être loin.
    Amicalement
  • Merci Ludwig
    Pour la courbure on a la même chose
    Pour le reste on a pareil?

    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
    Le vent ne souffle jamais pour ceux qui trouvent l'air respirable car ceux-là sont déjà morts sans le savoir, le vent souffle pour ceux qui sont encore vivants car il n'appartient pas au vent de ressusciter les morts mais de maintenir les vivants en vie.
  • Je n'ai pas fait les calculs. Comment les as-tu fait ?
  • avec une machine à calculer  casio 
    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
    Le vent ne souffle jamais pour ceux qui trouvent l'air respirable car ceux-là sont déjà morts sans le savoir, le vent souffle pour ceux qui sont encore vivants car il n'appartient pas au vent de ressusciter les morts mais de maintenir les vivants en vie.
  • Modifié (14 Mar)
    J'ai la même ! (une fx-92)
    Sais-tu comment elle effectue les opérations qu'elle propose à son menu ?
    De le savoir te rassurera sur les résultats que tu obtiens grâce aux propriétés et aux formules de ton cours.
    Quelles propriétés et formules au fait ? Je ne me souviens plus.
  • Une casio graph 35
    Je n'ai utilisé que le calcul matriciel et écrit le repère mobile moi-même
    Je pensais qu'il existait quelque part un logiciel qui fasse tous ces calculs et j'aurais vérifié si ça colle 
      
    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
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  • Modifié (14 Mar)
    Sauf erreur, la courbe est tracée sur l’ellipsoïde d'équation $ (\frac {x-3}4)^2+(\frac y6)^2+(\frac z5)^2=1$ et non sur une sphère comme une vraie fenêtre de Viviani :
    Elle se déduit d'une fenêtre de Viviani par une transformation affine, et c'est pourquoi elle lui ressemble.

  • Oui, une deuxième figure : 

    Avec GGB, en plus de la commande Courbure, on a aussi la commande VecteurCourbure.
  • Avec ces logiciels (que je ne connais pas) vous pouvez confirmer le reste de mes calculs donnés au premier post?
    La torsion
    Le centre du cercle osculateur
    Le centre de la sphère osculatrice au point $P_t$?
    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
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  • Modifié (22 Apr)
    Je vais tout décortiquer et remettre à plat tous les calculs que j'ai fait.
    Le calcul pour le cercle c'est ok mais le reste n'est pas bon.
    Le problème de mon erreur n'est pas calculatoire : c'est juste du grand n'importe quoi car j'ai mal dérivé mes vecteurs.
    Pas la peine de me répondre : le problème c'est moi !
    Dieu n'a jamais condamné l'avortement mais la foi sans l'amour.
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