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Développement leçon 102 permutations

Modifié (20 Apr) dans Concours et Examens
Bonjour
Pour les oraux, je n'ai pas vraiment bossé la géométrie.
Pour la leçon sur les permutations, y a-t-il un développent possible autre que celui des isométries conservant un cube ou un tétraèdre ? Si je pouvais éviter la géométrie...
Je ne trouve pas de livres qui présentent des développements sur les isométries conservant un cube ou un tétraèdre .
Les explications sont toutes différentes et je vais me faire piéger sur les questions que je ne maitrise pas.
Dans le livre "55 leçons", c'est compliqué .
Dans le livre Mercier, c'est "géométrique" .
Il y a aussi un développement pour le tétraèdre dans "voyage en algébrie".
Et développer les isométries conservant un triangle équilatérale est tout de même trop simple mais à mon niveau.
Merci.
Mots clés:

Réponses

  • Un théorème de Brauer (deux permutations sont conjuguées ssi leurs matrices de permutations le sont) ? Voir Beck/Malick/Peyré page 321.
    Comme livre, si tu le trouves, peut-être dans le Tauvel de géométrie (pour les isométries du cube).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Merci Nicolas mais je pense que ce sera trop compliqué pour moi.
    J'ai pensé aux nombre de dérangements?
  • Pourquoi pas, mais la preuve du théorème de Brauer ne me paraît pas demander de connaissances extraordinaires. Cela dit, il faudra penser à expliquer l’intérêt.
    C’est pour l’interne ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Oui je suis à l'interne.
  • Prépare-toi quand même à une question sur une application en géométrie.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Objectif agrégation est dans la bibliothèque et je l'ai en pdf. Je regarde ça.
  • Sinon, il y a deux ou trois choses sur $\mathfrak{S}_n$ dans les bouquins de Perrin et d’Ortiz.
    Si tu veux jouer avec les puzzles permutatoires (Rubik’s cube et autres), il y a le bouquin de Joyner (en anglais), et il y cause des groupes du cube (le solide comme le Rubik mais ce dernier tape beaucoup plus haut).
    Sinon, je ne sais pas trop si le groupe de l’ourson pourrait faire l’objet d’un développement. Ça me semble court sauf si tu le raccroches à celui des isométries du cube, auquel il est isomorphe.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • La simplicité de $\mathfrak A_n$ pour $n \geq 5$ (ou même simplement de $\mathfrak A_5$) est un développement très classique pour cette leçon.
  • Modifié (19 Apr)
    Quelques idées non géométriques :
    • Générateurs minimaux du groupe symétrique $\mathfrak{S_n}$ par des transpositions : $(1 ~2), (2~ 3),..., (n-1~ n)$ ou bien $(1~ 2), (1~3),..., (1~ n)$, forcément $n-1$ transpositions. Caractérisation des ensembles de transpositions qui engendrent $\mathfrak{S_n}$.
    • Pour $n \ge 3$ le groupe alterné  $\mathfrak{A_n}$ est engendré par les $3$-cycles (Georges Papy disait « tricycles »). Ingrédient pour prouver que  pour $n \ge 5$ le groupe alterné  $\mathfrak{A_n}$ est simple.
    Théorème de Zolotarev, 1872. Soit $p$ premier impair, soit  $a \in (\mathbb Z / p \mathbb Z )^*$. L'application $x\mapsto ax$ est une permutation de $(\mathbb Z / p \mathbb Z )^*$. La signature de cette permutation est $\big(\frac{a}{p}\big)$, symbole de Legendre pour le caractère quadratique de $a\mod p$. Ingrédient d'une démonstration de la loi de réciprocité quadratique, n° 53 de
    •  Étude des permutations qui sont des carrés.
    Je ne sais si ça convient. Sinon, on jette.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Merci pour vos propositions.
    J'ai trouvé les développements sur le groupe des isométries pour cube et tétraèdre dans un bouquin d'oral.
    Ce n'est pas si compliqué que ça et ça se recase dans d'autres leçons.
  • Modifié (20 Apr)
    En voici quelques-uns que j'avais pour l'externe, sur la leçon "Groupe symétrique" qui a l'air assez proche de ta leçon "Permutations".
    1) Isomorphisme entre $\mathfrak S_n$ et le groupe de ses automorphismes pour $n \neq 6$ (cf Perrin pour un gros morceau de la preuve). Il est assez dur, à ne faire que si tu te sens à l'aise.
    2) Calcul du nombre d'involutions de $\mathfrak S_n$ : celui-là est relativement simple, même s'il n'illustre pas super bien les outils utilisés avec les permutations : il se recase sur des leçons de dénombrement ou de séries entières (voire d'équa diff en poussant le bouchon).
    3) Ceux qui ont déjà été cités comme la simplicité de $\mathfrak A_n$ ou le théorème de Frobenius-Zolotarev qui sont bien.
    Je te conseille des livres du genre "L'oral à l'agrégation de maths" (Isenmann, Pecatte) qui contient pas mal de dévs, à adapter selon les preuves cela dit.
  • Je ne sais pas si ça rentre dans cette leçon. 
    J’ai souvenir de l’autre qui parle de « dénombrements » et qui utilise des résultats sur les séries entières. 
    Ce sont des leçons que je trouve très difficiles car je n’ai aucune culture de ce côté là, mise à part les choses élémentaires du lycée. 
  • Modifié (21 Apr)
    À l'interne, la construction de la signature est peut-être un développement envisageable. On peut aussi fabriquer un développement qui regroupe des faits élémentaires - mais importants - concernant la conjugaison. Je pense qu'il vaut mieux éviter les développements qui emmènent sur des sujets qu'on ne maîtrise pas ("Vous nous parlez de symboles de Legendre. Calculez nous le suivant...").
  • De manière générale, les questions les plus importantes pour choisir un développement sont les suivantes :
    1) Suis-je capable de répondre à la question "Pourriez-vous me justifier la place de ce développement dans cette leçon ?"
    2) Ai-je la maîtrise des concepts qui apparaissent dans le développement ? Puis-je appliquer mon résultat dans un cas particulier ?
    3) Quelles seront les questions du jury sur ce développement ? Puis-je y répondre ?
    Pour la simplicité de $\mathcal{A}_n$ ($n \geqslant 5$), le jury va, avec probabilité proche de 1, poser la question de la simplicité de $\mathcal{A}_n$ pour $n = 0,1,2,3,4$, et notamment pour $n=4$. Si on fait Dunford dans une leçon sur les endomorphismes, le jury va sûrement demander la décomposition de Dunford d'une matrice $2 \times 2$ pour voir comment fait le candidat. Donc, si on présente Frobenius-Zolotarev, il faut savoir calculer un symbole de Legendre, connaître ses propriétés et leurs démonstrations, son utilité, etc.
  • Modifié (21 Apr)
    À propos de la signature d'une permutation, je signale cet excellent article, qui traite de la meilleure façon d'enseigner la signature.
    Les premières parties sont très classiques, mais la partie 4 traite une façon fort originale de définir et prouver les propriétés de la signature.
    Cet article a été utilisé comme support de l'épreuve d'analyse de documents scientifiques au concours de l'École Polytechnique, en 2019.
    Il est extrait du tome 16 de la deuxième série de la revue "L'enseignement mathématique", publié à Genève en 1970.
    Voir ICI
    Je ne sais pas si on peut encore en trouver des exemplaires papier.
  • Il est peut-être possible de parler des algorithmes de tri.
    Par exemple le « tri à bulle » prouve que n'importe quelle permutation est un produit de transpositions.
  • @Heuristique : j'ajoute : "Connaissez vous une application de ce résultat ?"
  • Modifié (22 Apr)
    @verdurin Attention car la preuve de correction du tri bulle utilise parfois des concepts plus complexes sur les permutations, par exemple le nombre d'inversions. Cela dit, c'est un développement possible en effet. Un ancien bon recasage 105-903 à l'agrég externe, du temps de feu l'option info...
    @Magnéthorax Question à laquelle il faut répondre : "Les mathématiques m'intéressent davantage par le plaisir intellectuel qu'elles procurent plutôt que par leurs applications. Cela dit, ce résultat permet de montrer que [Application du résultat]."
  • Dans l'exposé: signature en utilisant les orbites (cela a l'avantage d'être effectif et facile à mettre en oeuvre)

    * Groupe des isométries du dodécaèdre

    * Valeur asymptotique du nombre moyen d'orbites des éléments de $\mathfrak S _n$ (Foata Schutzenberger)
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