Croissances comparées — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Croissances comparées

Modifié (21 Apr) dans Concours et Examens
Bonjour
Dans un exercice sur les séries numériques et vectorielles, on a $|\lambda| <1$ et $\alpha \in \R$. On dit que $n^{\alpha} \lambda^n =o(1/n^2)$ par croissances comparées.
Je ne vois pas le rapport avec les croissances comparées. Je cherche la limite de $n^{\alpha-2} \lambda^n$.
Il y a une forme indéterminée si $\alpha>2$ non ? On sait que $\lambda^n \longrightarrow 0$.

Réponses

  • Bonjour, tu as une liste de limite par croissance comparées
    essaye de réécrire ton expression sous une des formes où tu peux utiliser les croissances comparées.
  • Voici une intuition : les polynômes ont une croissance "normale", les logarithmes une croissance "molle" et les exponentielles ou suites géométriques une croissance "explosive". Ici (je me place dans le cas $0 < \lambda < 1$) ,on regarde $\frac{n^{\alpha-2}}{\beta^n}$ avec $\beta = \frac{1}{\lambda} > 1$.
    Donc on a une bagarre entre un gars normal qui tire la corde pour monter vers $+\infty$ et un gros costaud $\beta^n = \exp(n \ln(\beta))$ qui la tire pour aller vers 0. Qui gagne ?
    Cette petite histoire de "mou", "normal", "costaud" porte le nom de théorème de croissance comparée et, modulo un peu plus de formalisme, mon histoire de combats entre polynôme et exponentielle permet de conclure.
  • Merci j'ai compris. 
  • Modifié (21 Apr)
    C'est niveau Terminale !
    Pour tous $\lambda>0,\beta\in\R$ et $n\in\N^*$,$$n^{\beta}\lambda^n=e^{n\left(\beta\frac{\ln n}n+\ln\lambda\right)}.$$
  • Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!