Deux angles égaux

Bonjour, Jean L. A. Le problème est jolie je trouve, en fait les étapes que je fait sont ainsi, premièrement pour le triangle donné $ABC$, si $\hat{BAC}=2x$ et $\hat{ABC}=y$ avec disons $x+y\ge 90°$ et $y\le 90°$.  Une chasse angulaire montre que $\hat{IAD}=\hat{IA'K}=x+y-90°$. On se place dans la figure suivante $O$ milieu de $[AD]$ et $I$ milieu de $[AA']$, $F\in (AD)$, $FA=FA'$ et $(DI)$ bissectrice dans $ADK$, $(K\in (FA'))$. On montre que les triangles $ADI$, $DIK$ et $IKA'$ sont semblables apparemment, si vous voulez trouver les longueurs analytiquement de $KD$ et $DI$... On applique ça dans la figure initiale du problème,
par la même chasse angulaire on a $\hat{BAI}=x$, $\hat{DAC}=90°-y$ et dans le quadrilatère $BKFA$
$\hat{K}=90°$, $K$ est le projeté orthogonale de $A'$ sur $[BC]$.
Cordialement.