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denise chemla
denise chemla
Modifié (April 2022) dans Topologie
Bonjour
Quelqu'un saurait-il dans quel livre j'avais pu photographier cette image ?
Merci.
Bonne journée,
Denise Chemla

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Oh oui. Topologie et Analyse fonctionnelle d'Yves Sonntag.
  • denise chemla
    denise chemla
    Bonjour Raoul,

    Merci, votre aide est vraiment bienvenue, je savais que je trouverais des experts ici.
    Je vous serais reconnaissante également de me fournir, si vous en connaissez, des références à propos du passage d'un espace ultramétrique à un autre, en complète néophyte de la topologie.

    Bonne journée !
    Denise

  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (April 2022)
    Je suis loin d'être expert... :mrgreen:

    En ce qui concerne les espaces ultramétriques je n'en connais pas plus que ce qui est dit dans la page Wikipedia.

    Pour ce qui est des "passages" d'un espace ultramétrique à un autre ce que je peux dire est que plus généralement lorsqu'on parle d'espaces métriques on considère les applications continues (voire, les applications uniformément continues, voire les applications lipschitziennes) comme les applications intéressantes entre ces espaces.
  • denise chemla
    denise chemla
    Modifié (April 2022)
    Et de telle fonctions permettent de passer d'un espace ultramétrique avec distance 2-adique à un autre avec distance 3-adique ?...
    Ma question est peut-être complètement hors sujet et saugrenue.
    Merci de la réponse.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (April 2022)
    Non elle n'est pas saugrenue : on peut se demander par exemple quelles sont les fonctions continues entre $\Q_2$ et $\Q_3$, à part les fonctions constantes qui n'ont pas grand intérêt. Je n'en sais rien car je ne connais pas du tout le monde des nombres p-adiques.

    Peut-être que quelqu'un de plus informé passera par là...
  • Calli
    Calli
    Modifié (April 2022)
    Bonjour,
    Pour tout $p$ premier, le compactifié d'Alexandrov de $\Bbb Q_p$ est un espace métrique compact, parfait (i.e. sans point isolé), non vide et totalement discontinu, donc il est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Donc les $\Bbb Q_p$ sont tous homéomorphes au Cantor privé d'un point quelconque (tous ces points sont topologiquement équivalents), donc ils sont homéomorphes entre eux.
  • Calli
    Calli
    Sans aller aussi loin, on peut aussi construire un exemple de fonction continue non triviale $f:\Bbb Q_2\to\Bbb Q_3$ en associant à $\sum_{n\geqslant n_0} a_n 2^n$ (avec $\forall n, \; a_n\in\{0,1\}$) le nombre 3-adique $\sum_{n\geqslant n_0} a_n 3^n$ (on doit avoir $\forall n, \; a_n\in\{0,1,2\}$, donc c'est bien défini). Cette fonction est une injection et un homéomorphisme vers son image puisque $\forall x\in \Bbb Q_2,\; |f(x)|_3 = |x|_2^{3/2}$ car $v_3(f(x))=v_2(x)$ (rappel : $|x|_p=p^{-v_p(x)}$).
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (April 2022)
    J'aurais dit que les $\Q_p$ n'étaient pas homéomorphes. Heureusement que je ne l'ai pas dit... :mrgreen:
  • gai requin
    gai requin
    @Calli : Ton argument ne montre-t-il pas aussi que les $\Q_p$ ne sont pas homéomorphes à $\Q_{\infty}=\R$ ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Du moment qu'ils sont totalement discontinus...
  • Calli
    Calli
    Modifié (April 2022)
    @gai requin : Avec cette tournure de phrase je ne suis pas sûr que tu veuilles dire que $\Bbb Q_p\cong_{\bf Top} \Bbb R$ ou qu'au contraire $\Bbb Q_p\not\cong_{\bf Top} \Bbb R$, mais en tout cas $\Bbb Q_p$ n'est jamais homéomorphe à $\Bbb R$ car $\Bbb Q_p$ est totalement discontinu (comme tout espace ultramétrique, car ses boules ouvertes sont aussi fermées) tandis que $\Bbb R$ ne l'est pas.

    Edit : Je n'avais pas vu le message de @raoul.S.
  • gai requin
    gai requin
    Merci d'avoir fourni un exemple que je connais qui montre que le complété d'un espace métrique dépend de la métrique.
  • denise chemla
    denise chemla
    Modifié (April 2022)
    Bonsoir et merci des réponses.
    C'est trop difficile et je ne comprends pas.
    Toutes mes questions viennent de cette note que je viens de poster ici http://denise.vella.chemla.free.fr/dist-sup.pdf
    À vrai dire, je tourne en rond et peut-être que l'idée d'utiliser des distances ultramétriques pour à peine calculer une somme de distances qui soit maximale est idiot, peut-être que ça n'apporte rien parce que c'est après tout la même chose que d'éliminer certaines classes de congruences (1 ou 2 par module premier).
    Je ne comprends pas qu'il y ait un homéomorphisme de $\mathbb{N}$ qu'on munirait d'une distance 2-adique à $\mathbb{N}$ qu'on munirait d'une distance 3-adique  parce que je n'arrive pas à imaginer comment on peut passer par un homéomorphisme (que j'imagine comme une sorte de déformation d'une variété, l'exemple classique de la tasse qui devient un tore comme ici https://cqfd.univ-lyon1.fr/2021/04/17/quelques-curiosites-topologiques-sur-le-tore/ ), d'un truc qui s'enroulerait 2 fois sur lui-même à un autre truc qui s'enroulerait 3 fois sur lui-même.
    Je confonds sûrement tout et je dois travailler beaucoup pour petit à petit essayer de me familiariser avec tout ça.
    Merci et bonne soirée.
  • denise chemla
    denise chemla
    Modifié (April 2022)
    On trouve des explications dans cette vidéo.

    https://www.youtube-nocookie.com/embed/Vzgi3MfxR-8

    Cordialement.


  • Calli
    Calli
    @denise chemla : C'est normal de ne pas arriver à visualiser les homéomorphismes dont je parlais car ils n'ont pas de description simple à ma connaissance. L'existence de ces homéomorphismes est un résultat théorique, mais il n'est pas facile de les expliciter.

    Mais attention, j'ai dit que $\Bbb Q_2$ et $\Bbb Q_3$ sont homéomorphes (et c'est aussi vrai pour $\Bbb Z_2$ et $\Bbb Z_3$), mais pour $(\Bbb N,|.|_2)$ et  $(\Bbb N,|.|_3)$ je n'ai rien dit (et je ne sais pas s'ils sont homéomorphes).
  • denise chemla
    denise chemla
    Merci de l'ajout Calli, je vais essayer de lire ce que je pourrai trouver à propos de tout ça, en laissant le temps au temps, et en continuant à transcrire / traduire, parfois ça m'aide. Il y a un passage sympathique dans la vidéo, où il semble être question de mettre sur N une structure qui fait qu'on échappe au caractère discret mais là aussi, je n'ai peut-être pas bien compris, il faut réécouter, relire, réécouter, relire...

    Cordialement.
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