Courbe paramétrée et tangente

Et la limite j'ai aussi un problème.
$y(t) - y(1)=t^2 /2 + 1/t -3/2 $ et $x(t)-x(1)=t +1/2t^2 -1$.
Or, $\lim_1 y(t)-y(1)=0$ et $\lim_1 x(t)-x(1)=0$ on a une forme indéterminée $0/0$ 

Merci @Rescassol

Si on a :  $\Delta=\dfrac{t^2/2 +1/t -3/2}{ t+ 1/2t^2 -3/2}=\dfrac{t^4+2t-3t^2}{2t^3 +1 -3 t^2}$ 

$1$ est racine évidente et même racine double de $P(t)=t^4+2t-3t^2 =(t-1)^2 t (t+2)$ et $Q(t)=2t^3 +1 -3 t^2 =(t-1)^2 (2t+1)$

Donc $\Delta= \dfrac{t (t+2)}{2t+1} \longrightarrow \dfrac{3}{3}=1$

Par contre mon erreur avec le $x'(t) \geq 0$ je ne la trouve pas.

Je ne trouve pas l'erreur depuis cet après-midi et ça m'énerve. Le passage à l'inverse renverse l'ordre des inégalités j'ai juste utilisé cette propriété.

Les arcs paramétrés au lycée ? J'ai étudié le cours sur les arcs paramétrés de MP... Il n'y a plus grand chose au programme, ça fait 5 pages de cours.

Je sais que c'est faux mais je ne trouve pas vraiment l'erreur où elle se trouve. Pourquoi on a pas le droit de passer à l'inverse et de renverser l'inégalité ? 

@zeitnot je connais le graphe de la fonction inverse.

@raoul.S ok merci j'ai enfin compris l'erreur, si je prends $-1 \leq t <0$ et $f(x)=1/x$ je ne peux pas appliquer $f$ à $1 \geq 1/t^3$ car $1 \notin [-1,0[$.

Sinon j'ai réussi la question $2$.

Question $2$ : 

On a $\gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) =(1- \dfrac{1}{t^3},t-\dfrac{1}{t^2})=(1- \dfrac{1}{t^3}) (1,t)$. Posons $\vec{u}=(1,t)$ c'est un vecteur directeur de $\gamma'(t)$.

Pour trouver une équation de la tangente, prenons $M(x,y)$ on a alors $\det( M - \gamma(t) ,\vec{u}) =0$

Après calculs, on trouve $\boxed{t^3 -2t^2 x+2ty-1=0}$

Soient $(t_1,t_2)$ deux réels tels que $\gamma(t_1)$ et $\gamma(t_2)$ appartiennent à la tangente. On veut aussi que $\gamma(t_1)$ soit orthogonal à $\gamma(t_2)$, ce qui fournit $(\gamma(t_1) , \gamma(t_2))=0$ soit $1+t_1 t_2 =.$ et finalement $\boxed{t_1 t_2 =-1}$

On cherche donc les points tels que $t_1$ et $t_2$ soient racines du polynôme $P(X)=X^3-2x X^2+2y X-1$ et tels que $t_1 t_2 =-1$.

D'après les relations coefficients racines, $P(X)=1 \times (X^3 -\sigma_1 X^2+\sigma_2 X - \sigma_3= (X-t_1)(X-t_2)(X-t_3)$ avec $\sigma_1=t_1+t_2+t_3=2x$, $\sigma_2=t_1 t_2+ t_1 t_3 + t_2 t_3=2y$ et $\sigma_3 =t_1 t_2 t_3=1$.

Après calculs, on trouve la condition nécessaire $\boxed{y+x=-1}$.

Réciproquement , si $y+x=-1$ alors $P(X)=X^3-2xX^2 + 2(-1-x) X-1$ 

On remarque que $P(-1)=-1-2x+2(1+x)-1=0$ donc $1$ est racine de $P$. Ainsi, $\boxed{P(X)=(X+1)(X^2 + (2y+1) X-1)}$

Posons $Q(X)=X^2 + (2y+1) X-1$ son discriminant vaut $\Delta=(2y+1)^2+4 >0$ donc $Q$ possède deux racines réelles et $Q(X)=(X-t_1)(X-t_2)=X^2-\sigma_1 X+ \sigma_2$.

Par les relations coefficients-racines, on a $\sigma_1=t_1+t_2=-(2y+1)$ et $\sigma_2=t_1 t_2=-1$.

Une condition nécessaire est suffisante est donc que $t_1$ et $t_2$ sont racines de $P(X)=X^3-2x X^2+2y X-1$ avec $t_1 t_2 =-1$.