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Ordre d'un point singulier d'une courbe algébrique projective

Bonjour,
Je bloque sur l'exercice suivant. Soit $C$ une courbe algébrique irréductible de degré $d$ incluse dans $\mathbb P^2$ , et on suppose qu'elle a deux points singuliers, disons $p_1$ et $p_2$, d'ordre $m_1$ et $m_2$. Montrer que $m_1+m_2 \leq d$.
Mon cours donne la définition de l'ordre d'un point singulier $p$ d'une courbe algébrique affine $C$ définie par le polynôme $f(x,y) \in k[x,y]$ dans $\mathbb A^2=k^2$, $k$ le corps de base : les dérivés partielles de $f$ s'annulent en ce point, et en faisant une translation de la courbe de telle façon que $p$ devienne l'origine des coordonnées $p=(0,0)$, l'ordre de multiplicité de $p$ sur $C$ est le plus petit degré des monômes non nuls du polynôme (que je continue d'appeler) $f$ (cet ordre est toujours $\geq 2$).
Pour fixer les idées, soit la courbe (cubique) d'équation $f(x,y)=y^2-(x^3-3x+2)=0$, elle admet un point singulier $(1,0)$, et en déplaçant la courbe de telle façon que ce point soit l'origine des coordonnées, son équation devient $y^2=x^3-3x^2$, le point singulier est donc d'ordre $2$.
J'essaie d'adapter cette définition à une courbe projective. Mon cours donne la définition d'un point singulier d'une courbe algébrique projective (ses dérivés s'annulent en ce point), mais pas la définition de son ordre.
Par exemple en homogénéisant ce dernier polynôme, il devient $F(X,Y,Z)=Y^2Z-X^3+3XZ^2-2Z^3$, de degré $3$, qui admet un point singulier : $(1:0:1)$. On peut déplacer la courbe sur $(0:0:1)$ dans l'ouvert affine défini par $Z \ne 0$, aussi bien que sur $(1:0:0)$ dans l'ouvert affine $X \ne 0$. Mais le polynôme obtenu n'est plus homogène. Ce n'est donc pas la bonne méthode.
On ne peut évidemment la déplacer sur $(0:0:0)$.
J'ai plusieurs questions par rapport à cela :
1) quelle est la définition de l'ordre d'un point singulier d'une courbe algébrique projective ?
2) est-on assuré que l'ordre de ce point singulier sera le même pour toutes les courbes affines projections de cette courbe projective dans les ouverts affines standards auxquels il appartient ?
3) pouvez-vous me donner des indications sur cet exercice ? déjà pour une courbe affine ? j'ai l'idée de déplacer un des points $p_1$ en $(0,0)$ : la courbe s'écrit $f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2+ \cdots$, puis les dérivées partielles de $f$ en $p_2=(\alpha, \beta)$ s'annulent, mais je n'ai pas d'idée pour la suite.
Désolée pour ce long message. Merci d'avance.
Merci de déplacer ce fil s'il n'est pas dans le bon sous-forum.

Réponses

  • Modifié (4 Apr)
    Bonjour
    1) quelle est la définition de l'ordre d'un point singulier d'une courbe algébrique projective ?

    Ça peut être la multiplicité de l'intersection avec une droite générale passant par ce point. Ça donne une solution de l'exercice sur lequel tu bloques.

    les courbes affines projections de cette courbe projective dans les ouverts affines standards
    Pourquoi parles-tu de projection, alors qu'il s'agit d'une intersection ?
  • Modifié (5 Apr)
    Merci GaBuZoMeu.
    1) je vais essayer de me débrouiller avec ça, j'ai vu la définition de la multiplicité de l'intersection avec une droite passant par le point, mais uniquement dans le cas affine.
    2) en effet, c'est une intersection, j'ai tendance à le voir comme une projection.
  • Modifié (9 Apr)
    1) Je montre déjà que dans le cas affine, l'ordre d'un point singulier $p$ d'une courbe affine $C$ définie par un polynôme $f$ (le plus petit degré des monômes de $f$ si on place $p$ en $(0,0)$ ) est égal à la multiplicité d'intersection de $C$ en $p$ avec une droite $D$ affine arbitraire passant par $p$ (l'unique entier $k \geq 0$ tel que $f=t^k v$ où $t$ est un paramètre local pour $D$ et $v$ une application rationnelle $\in K(D$) telle que $v(p) \ne 0$), vu que ce point est lisse pour $D$, et que la multiplicité d'intersection n'est définie que pour un point lisse d'une des deux courbes (ce n'était pas dans mon cours). C'est ok ?
    2) Comment transpose-t-on ce résultat dans le cas projectif ? Vu que je n'ai vu ni l'ordre d'un point ni la multiplicité d'intersection dans ce cas.
    3) Je me place dans un ouvert affine $\mathbb A^2 \subset \mathbb P^2$, et suppose que $p_1$ et $p_2$ sont distincts. Il existe une droite $D$ qui passe par ces deux points. $D$ est donc une courbe irréductible (de degré $1$), et on a $D \not \subset C$ (sinon soit $C$ n'est pas irréductible, soit $C=D$ et alors les points sont lisses, contraire à l'hypothèse dans les deux cas).
    Alors d'après le théorème de Bézout dans $\mathbb P^2$, la multiplicité d'intersection de $C$ et $D$ (auxquelles on a rajouté les points à l'infini) est $1.d=d=$ à la somme des multiplicités d'intersection des deux courbes en leurs points d'intersection (qui sont chacun dans un ouvert affine) comptées avec la multiplicité d'intersection en chacun des points (je l'écris car je ne le trouve nulle part écrit ainsi dans mon cours). Donc $m_1+m_2 \leq d$, vu que le nombre de points d'intersection des deux courbes est inférieur dans l'ouvert affine à ce qu'il est dans $\mathbb P^2$ (mais il y a un problème pour la multiplicité d'un point, je coince à cause du 2) ). Ok ?
    4) Maintenant je me place dans $\mathbb P^2$. Il existe toujours une droite $D$ qui passe par les deux points, et on a toujours $D \not \subset C$. On sait qu'alors le nombre de points d'intersection de $C$ et $D$ est fini, donc il existe une droite projective qui n'en contient aucun (à montrer). On peut donc placer tous les points d'intersection dans un ouvert affine, mais pas $C$ a priori ... . Là je coince à cause du 2). Peux-tu m'aider ?
    5) Je ne vois pas très bien où est utilisé que $p_1$ et $p_2$  sont singuliers pour $C$ (sauf pour dire que $D \not \subset C$ qui peut être mis en hypothèse) ?
    Désolée encore pour ce long message.

  • Modifié (5 Apr)
    Pour résoudre le 2) de ma dernière question (c'est le seul point qui me pose en fait problème), on peut placer $p$ dans un ouvert affine $\mathbb A^2$, et considérer la courbe affine $C \cap \mathbb A^2$, et donner ainsi pour définition de l'ordre de $p$ dans la courbe projective, l'ordre de $p$ dans la courbe affine. Mais il faut s'assurer qu'on a bien le même résultat quelque soit l'ouvert affine considéré.
    On peut aussi donner (comme dit GaBuZoMeu) la définition de l'ordre d'un point (pas forcément singulier) d'une courbe $C$ projective = multiplicité d'intersection de $C$ avec une droite projective (arbitraire) passant par $p$. Mais celle-ci n'est toujours pas définie dans mon cours dans le cas projectif.
    J'ai l'impression que tout cela est du cours, et que je fais une joyeuse embrouille, vue que le théorème de Bézout qui se place dans le cas projectif évoque la multiplicité d'intersection de deux courbes projectives.
  • Modifié (5 Apr)
    Reprenons : ordre d'un point $p \in \mathbb P^2$ d'une courbe $C$ projective = multiplicité d'intersection de $C$ avec une droite projective $D$ (arbitraire) en $p$. Il faut donner du sens à cela sachant que je ne l'ai vu que dans le cas affine.
    Soit $D$ une droite projective arbitraire contenant $p$. On peut priver $D$ d'un point autre que $p$, alors $D$ devient une droite affine qu'on inclut dans un ouvert affine $\mathbb A^2$. Donc $D \cap \mathbb A^2$ est une droite affine contenant $p$. Elle admet un paramètre local $t$ en $p$. On considère alors l'équation $f(x,y)=0$ de $C$ dans cet ouvert affine, i.e. de $C \cap \mathbb A^2$, et on prend alors pour définition de la multiplicité d'intersection de $C$ et $D$ dans $\mathbb P^2$ en $p$, celle dans l'ouvert affine.
    Comme tout a été arbitraire, cela n'en dépend pas.
    Ouais, je ne suis pas très convaincue.
    EDIT : ah oui, on a identifié grâce à une bijection, une fois une carte affine $\mathbb A^2$ choisie (et on peut le faire quitte à modifier le système de coordonnées), les fonctions rationnelles de $\mathbb P^2$ sur la courbe $D$ (en l'occurrence $F \in K(D)$ dans $\mathbb P^2$), avec celles de $\mathbb A^2$ sur la courbe $D \cap \mathbb A^2$ (en l'occurrence $f \in K(D)$ dans $\mathbb A^2$), donc peu importe l'ouvert affine $\mathbb A^2$ choisi contenant $p$.
    Cela doit coller.
    Bon j'en reste là. Merci à ce forum de m'aider à réfléchir, et merci beaucoup GaBuZoMeu.
  • Modifié (7 Apr)
    En fait, on peut démontrer directement que l'ordre d'une courbe algébrique projective en un point de la courbe a bien un sens, à savoir qu'il reste le même quelque soit la carte affine considérée à laquelle ce point appartient.
    Pour cela, soit une courbe d'équation $F(x,y,z)=0$ et un point $p=(\alpha : \beta : \gamma)$ sur la courbe, qui appartient aux cartes affines $y \ne 0$ et $z \ne 0$. Donc $\beta \ne 0, \gamma \ne 0$.
    Dans $z \ne 0$, la courbe s'écrit $f(x,y)=F(x,y,1)=0$.
    Dans $y \ne 0$, elle s'écrit $g(x,z)=F(x,1,z)=z^d F(x/z, 1/z, 1) = z^d f(x/z, 1/z)=0$.
    Si l'ordre de la courbe en $p$ dans $z \ne 0$ est $k$ (avec $k\geq 1)$, alors $f$ s'écrit : $f(x,y)=\sum_{i+j \geq k} a_{i,j} (x-\frac{\alpha}{\gamma})^i (y-\frac{\beta}{\gamma})^j$, avec $a_{i,j} \ne 0$ pour au moins un couple $(i,j)$ tel que $i+j=k$.
    En posant alors  $u=x-\frac{\alpha}{\beta}, v =z - \frac{\gamma}{\beta}$, on obtient $g(x,z)=\sum_{i+j \geq k} a_{i,j} (- \beta v)^j (v+\frac{\gamma}{\beta})^{d-i-j} (\gamma u - \alpha v)^i$, dont le plus petit degré des monômes en $u$ et $v$ est $k$.
    Une seule chose me chagrine : si ce point n'appartient pas à la carte $x \ne 0$ (ie $\alpha=0$), alors son ordre pour la courbe est logiquement $0$ dans cette carte, on perd l'homogénéité. N'ai-je pas fait une erreur ?
  • Modifié (7 Apr)
    Julia Paule a dit :
    Une seule chose me chagrine : si ce point n'appartient pas à la carte $x \ne 0$ (ie $\alpha=0$), alors son ordre pour la courbe est logiquement $0$ dans cette carte, on perd l'homogénéité. N'ai-je pas fait une erreur ?
    Euh... Qu'est-ce que tu racontes, là ?
  • La multiplicité $m$ peut se caractériser en termes d'annulation des dérivées partielles d'ordre $m-1$ sur l'équation homogène de la courbe (ou de l'hypersurface), au moins en caractéristique nulle. Pas besoin de cartes affines alors.
  • Modifié (9 Apr)
    Ah c'est encore plus simple. Merci beaucoup. Je n'ai pas fait beaucoup de géométrie différentielle, ou bien j'ai oublié.
    J'avais pensé qu'un polynôme qui s'écrit $f(x,y)= \sum a_{i,j} x^i y^j$ est (par définition) d'ordre $1$ en $(0,0)$ si $a_{0,0}=0$ et $a_{1,0}$ ou $a_{0,1} \ne 0$) .
  • Modifié (9 Apr)
    Donc on considère que si le point appartient à la courbe projective, il sera (par définition) de multiplicité $\geq 1$ pour la courbe projective, même s'il n'appartient pas à toutes les cartes, et alors dans ce cas on ne peut pas considérer que sa multiplicité sera de 0 dans une carte à laquelle il n'appartient pas car ce point n'existe même pas dans cette carte. J'ai compris.
    Il pourra être de multiplicité 2 ou plus pour la courbe projective si toutes les dérivées partielles d'ordre 1 du polynôme homogène s'annulent en ce point, même s'il n'appartient pas à toutes les cartes.
    En gros, mon cours fait des exercices sur des notions (multiplicité d'un point d'une courbe projective) qu'il n'a pas encore définies.
  • Modifié (9 Apr)
    Effectivement, pas besoin alors des cartes affines pour démontrer que "l'ordre d'une courbe algébrique projective en un point singulier de la courbe (= multiplicité du point pour la courbe) a bien un sens".
    Alors la multiplicité d'un point pour la courbe projective est égale à la multiplicité du point pour les courbes affines dans les cartes affines auxquelles il appartient, car les dérivées partielles du polynôme homogène et des polynômes déshomogénéisés s'annulent en même temps.
    Merci GaBuZoMeu.
  • Bonjour Julia,
    J'ai un peu regardé ce document qui m'a l'air pas mal par rapport aux sujets qui t'ont intéressée dernièrement.
  • Modifié (10 Apr)
    Merci beaucoup gai requin.
    1) Oups, l'ordre d'un point n'est défini que s'il est singulier. Donc cette question tombe.
    Si le point est singulier, l'ordre et la multiplicité coïncident (il n'y a pas de tangente).
    Du coup, je comprends mieux pourquoi l'exercice qui a initié ce fil parle de points "singuliers".
    2) Oups, la définition de GaBuZoMeu : "la multiplicité $m$ peut se caractériser en terme d'annulation des dérivées partielles d'ordre $m−1$ sur l'équation homogène de la courbe", ne coïncide pas pour un point lisse avec la définition de la multiplicité au sens d'intersection avec une droite arbitraire passant par le point ($\geq 2$ pour l'intersection avec sa tangente, $=1$ pour l'intersection avec une droite autre que la tangente, $=1$ pour la définition en terme d'annulation des dérivées partielles), mais GaBuZoMeu n'a parlé de la multiplicité au sens d'intersection avec une droite générale que pour un point singulier, où tout coïncide (ordre et multiplicité, pour la courbe projective aussi bien qu'affine).
    Donc cette question tombe aussi.
    Et si on veut étendre la définition au sens d'intersection avec une droite générale au cas d'un point lisse, par droite générale, il faut entendre une droite autre que la tangente (dans ce cas, la multiplicité est de $1$ pour les deux définitions pour un point lisse).
  • Ce cours (donné par gai requin) a l'air vraiment clair, et plus précis que ce que j'ai pu voir jusqu'à présent. Je vais peut-être faire l'investissement de passer sur cet autre cours. Merci beaucoup gai requin !
  • J'ai essayé de rectifier toutes les erreurs que j'ai pu écrire dans ce fil. Ouf.
  • Je n'ai sans doute pas assez insisté sur la notion de "générale". Qu'est ce qu'une droite générale passant par un point ?
    Les droites passant par un point dans le plan forment une droite projective. On dit alors que quelque chose arrive pour une droite générale quand ça arrive en dehors d'un sous-ensemble algébrique strict de cette droite projective, c.-à-d. que ça arrive pour toutes les droites sauf pour un nombre fini. (J'ai un peu compliqué les choses, mais c'est pour permettre de voir comment généraliser quand on n'est plus avec une courbe dans le plan mais avec une hypersurface dans un espace de dimension supérieure.)
    Deux exemples :
    Pour un point lisse, la multiplicité d'intersection avec toute droite différente de la tangente est bien 1. Avec la tangente, ça peut être n'importe quoi de strictement plus grand que 1.
    Pour l'origine sur la courbe $y^2=x^2-x^3$, la multiplicité d'intersection à l'origine avec toute droite différente des droites $y=\pm x$ est 2. Elle est 3 pour ces droites. L'origine est un point double sur la courbe.
  • Modifié (10 Apr)
    Merci beaucoup GaBuZoMeu. Je rectifie pour la tangente (j'écris $=2$, mais je pense $\geq 2$).
    Je ne comprends pas très bien l'explication pour une droite générale mais je retiens que cela veut dire pour toutes les droites sauf un nombre fini (i.e. pour une droite en général).
    Pour la courbe $y^2=x^2-x^3$, l'origine est un point singulier d'ordre $2$ d'après son équation.  Il coïncide avec la multiplicité du point sur la courbe (les dérivées d'ordre $1$ en ce point s'annulent et au moins l'une d'ordre $2$ ne s'annule pas).
    Pour voir la multiplicité de la courbe avec une droite générale en ce point, on pose $y=tx$ (une droite générale passant par l'origine), on obtient si $f=0$ est l'équation de la courbe, $f(x,y)=y^2-x^2+x^3=(t^2-1)x^2+x^3$, "en général" de multiplicité $2$, et de multiplicité $3$ pour $t=\pm 1$ car d'après mon cours :
    par exemple pour $t=1$, on cherche la multiplicité de l'intersection de la courbe avec la droite $y=x$ : on peut prendre $x$ pour "paramètre local" (je le comprends en paramètre qui définit la droite dans son équation paramétrique : $x=u, y=u$), et avec $f(x,y)=x^3=u^3$, la multiplicité est $3$,
    pour $t \ne \pm 1$, l'équation paramétrique de la droite $y=tx$ peut s'écrire $x=u, y=tu$, on obtient $f(x,y)=u^2(t^2-1+u)$, avec $(t^2-1+u)(0,0) \ne 0$, donc la multiplicité est $2$.
    Je trouve que cette notion de paramètre local de mon cours pour définir la multiplicité d'intersection de deux courbes en un point lisse pour l'une des deux courbes (je le comprends en fait entre une courbe et la tangente à la courbe lisse), est assez compliquée.
    N'y a-t-il pas plus simple ? Comment définis-tu la multiplicité d'intersection de deux courbes en un point, ou simplement d'une courbe avec une droite en un point ?
    EDIT : j'ai oublié la droite $x=0$. Alors on choisit le paramètre local de cette droite : $u=y$, paramétrée par $x=0,y=u$. On obtient $f(x,y)=u^2$, donc la courbe est de multiplicité $2$ avec la droite $x=0$. Cela ne change rien au résultat général, et on n'avait pas besoin de l'étudier.
  • La multiplicité d'intersection des deux courbes $F=0$ et $G=0$ en un point $P$ appartenant aux deux courbes est la dimension sur le corps de base $K$ du quotient de l'anneau local $K[X,Y]_{\mathfrak m_P}$ par l'idéal $(F,G)$. Si on applique ça à la courbe $F=0$ et à la droite $Y=pX$ en l'origine, ça revient à prendre l'ordre de $F(X,pX)$.
  • Modifié (10 Apr)

    D'accord. Merci beaucoup. Je suis loin d'avoir vu cela. Mon cours en est à la méthode artisanale, intuitive. C'est quoi $\mathfrak m_P$ ?

    J'ai aussi étudié la courbe au point $(1,0)$ non singulier. La multiplicité du point sur la courbe est $1$ (avec les dérivées partielles), la multiplicité d'intersection avec sa tangente $x=1$ est $2$ (en prenant le paramètre local $y=u$, la tangente se paramètre en $x=1,y=u$, et la courbe s'écrit $f(x,y)=u^2$), il n'y a pas coïncidence, mais le point est lisse. La multiplicité avec une droite générale passant par ce point $y=t(x-1)$ est $1$ (avec le paramètre local $u=x-1$, la courbe se paramètre en $x=1+u, y=tu$).

    J'ai aussi étudié les points à l'infini, en homogénéisant la courbe : $F(X,Y,Z)=Y^2Z-X^2Z+Z^3$. Dans la carte $Z \ne 0$, on retrouve la courbe affine, dans la droite projective à l'infini $Z=0$, on obtient le point à l'infini : $(0:1:0)$, qui est la limite des points $(1-t^2 : t(1-t^2) : 1)$ quand $t \rightarrow \infty$, vu que la courbe affine est rationnelle et se paramètre en $ x=1-t^2, y=t(1-t^2)$.

    Par contre, je ne saurais pas faire ce dernier raisonnement si la courbe n'est pas rationnelle.

    Bref, intéressant.

  • $\mathfrak m_P$, c'est l'idéal maximal en $P=(a,b)$, c.-à-d. $\langle X-a, Y-b\rangle$.
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