Perles, colliers et congruences
Bonjour
Règles
On fabrique un collier de longueur $n$ avec des perles de deux types. Les perles de type $A$ sont de diamètre $1$, celles de type $B$ ont $5$ pour diamètre. Deux colliers qui se déduisent l'un de l'autre par une rotation (ou une symétrie) sont considérés comme distincts. On note $u_n$ le nombre de colliers de longueur $n$.
Exemple $n=11$
Il y a un collier sans perle $B$.
Il y a onze colliers avec une seule perle $B$ Elle occupe les places $1$ à $5$, ou de $2$ à $6$ ou de ....$11$ à $4$.
Il y a onze colliers avec deux perles $B$. On choisit la place de la perle $A$.
Conclusion $u_{11}=23$.
Question
Montrez que si $p>5$ est premier alors $u_p \equiv 1 \pmod{p}$.
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Réponses