La théorie de Morse-Kelley
Bonjour à tous,
Je suis content d'avoir enfin une raison valable pour dé-désertifier ce sous-forum, qui est bien tristounet ces temps-ci. C'est à propos de la théorie de Morse-Kelley, que je noterai MK. Les détails sont ici
https://drive.google.com/file/d/1P7_UlJmLsGzI_58wMiTsDE0fJaeURDqY/view à partir de la page 126.
Notons $T_0$ la théorie ZFC + "il existe un cardinal fortement inaccessible". Dans les dernières pages on trouve une preuve (pour ainsi dire triviale,) du fait que si $\kappa$ est inaccessible, alors $(V_{\kappa}, \in, V_{\kappa +1}) \models MK$. En particulier $T_0 \vdash Cons(MK)$. Mais j'ai lu quelque part qu'on a aussi $T_0 \vdash Cons(MK + Cons(MK))$. Et là je ne vois pas quel argument utiliser. Je vais vous expliquer mes réticences.
1) Sympa : S'il existe dans $V$ deux cardinaux inaccessibles, disons $\kappa < \lambda$, aucun problème : $V_{\lambda} \models MK$ et, par absoluité de la notion d'inaccessibilité, l'habitant de $V_{\lambda}$ voit $\kappa$ comme un inaccessible, donc il sait que $V_{\kappa}$ est un modèle de MK. Maintenant, vu de chez nous, on sait que $V_{\lambda} \models MK + Cons(MK)$, donc on est assurés de $Cons(MK+Cons(MK))$.
2) Moins sympa : s'il existe dans $V$ un unique inaccessible $\kappa$, alors $V_{\kappa} \models MK$, certes, mais comment s'assurer du fait que $V_{\kappa}$ voit chez lui un modèle de MK ?
Si quelqu'un a une idée...
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Si MK + cons(MK) est incohérente, alors tout modèle de MK est aussi un modèle de non cons(MK), en particulier $(V_\kappa, \in , V_{\kappa +1})$ est un modèle de ça. Seulement voilà, ça veut dire qu'il connait une preuve de non cons(MK), autrement dit il connait une preuve de 0=1 dans MK.
Mais s'il a une telle preuve, puisque ses entiers sont les mêmes que les nôtres (nous = un habitant de $T_0$) , on connait aussi cette preuve, et c'est aussi une preuve chez nous. (là j'utilise une forme d'absoluité, genre que les énoncés vrais dans $\omega$ selon $V_\kappa$ sont les mêmes que selon l'univers, j'espère que c'est vrai puisque $V_\kappa$ est transitif et qu'il ne se trompe ni sur les entiers ni sur $P(\omega)$, mais tu devrais vérifier).
C'est informel mais ça paraît raisonnable ? (en particulier, rien de spécial chez MK si je ne me trompe pas)
Je suis d'ailleurs désolé de ne pas avoir le temps ces derniers temps de regarder ton livre en plus de détails, je suis un peu débordé par trop de projets :-D je passe la tête par le forum de temps en temps, mais c'est tout...