Ordre d'un point singulier d'une courbe algébrique projective
Bonjour,
Je bloque sur l'exercice suivant. Soit $C$ une courbe algébrique irréductible de degré $d$ incluse dans $\mathbb P^2$ , et on suppose qu'elle a deux points singuliers, disons $p_1$ et $p_2$, d'ordre $m_1$ et $m_2$. Montrer que $m_1+m_2 \leq d$.
Mon cours donne la définition de l'ordre d'un point singulier $p$ d'une courbe algébrique affine $C$ définie par le polynôme $f(x,y) \in k[x,y]$ dans $\mathbb A^2=k^2$, $k$ le corps de base : les dérivés partielles de $f$ s'annulent en ce point, et en faisant une translation de la courbe de telle façon que $p$ devienne l'origine des coordonnées $p=(0,0)$, l'ordre de multiplicité de $p$ sur $C$ est le plus petit degré des monômes non nuls du polynôme (que je continue d'appeler) $f$ (cet ordre est toujours $\geq 2$).
Pour fixer les idées, soit la courbe (cubique) d'équation $f(x,y)=y^2-(x^3-3x+2)=0$, elle admet un point singulier $(1,0)$, et en déplaçant la courbe de telle façon que ce point soit l'origine des coordonnées, son équation devient $y^2=x^3-3x^2$, le point singulier est donc d'ordre $2$.
J'essaie d'adapter cette définition à une courbe projective. Mon cours donne la définition d'un point singulier
d'une courbe algébrique projective (ses dérivés s'annulent en ce point), mais pas la définition de son ordre.
Par exemple en homogénéisant ce dernier polynôme, il devient $F(X,Y,Z)=Y^2Z-X^3+3XZ^2-2Z^3$, de degré $3$, qui admet un point singulier : $(1:0:1)$. On peut déplacer la courbe sur $(0:0:1)$ dans l'ouvert affine défini par $Z \ne 0$, aussi bien que sur $(1:0:0)$ dans l'ouvert affine $X \ne 0$. Mais le polynôme obtenu n'est plus homogène. Ce n'est donc pas la bonne méthode.
On ne peut évidemment la déplacer sur $(0:0:0)$.
J'ai plusieurs questions par rapport à cela :
1) quelle est la définition de l'ordre d'un point singulier d'une courbe algébrique projective ?
2) est-on assuré que l'ordre de ce point singulier sera le même pour toutes les courbes affines projections de cette courbe projective dans les ouverts affines standards auxquels il appartient ?
3) pouvez-vous me donner des indications sur cet exercice ? déjà pour une courbe affine ? j'ai l'idée de déplacer un des points $p_1$ en $(0,0)$ : la courbe s'écrit $f(x,y)=ax^2 + bxy + cy^2+ \cdots$, puis les dérivées partielles de $f$ en $p_2=(\alpha, \beta)$ s'annulent, mais je n'ai pas d'idée pour la suite.
Désolée pour ce long message. Merci d'avance.
Merci de déplacer ce fil s'il n'est pas dans le bon sous-forum.
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Réponses
Ça peut être la multiplicité de l'intersection avec une droite générale passant par ce point. Ça donne une solution de l'exercice sur lequel tu bloques.
D'accord. Merci beaucoup. Je suis loin d'avoir vu cela. Mon cours en est à la méthode artisanale, intuitive. C'est quoi $\mathfrak m_P$ ?
J'ai aussi étudié la courbe au point $(1,0)$ non singulier. La multiplicité du point sur la courbe est $1$ (avec les dérivées partielles), la multiplicité d'intersection avec sa tangente $x=1$ est $2$ (en prenant le paramètre local $y=u$, la tangente se paramètre en $x=1,y=u$, et la courbe s'écrit $f(x,y)=u^2$), il n'y a pas coïncidence, mais le point est lisse. La multiplicité avec une droite générale passant par ce point $y=t(x-1)$ est $1$ (avec le paramètre local $u=x-1$, la courbe se paramètre en $x=1+u, y=tu$).
J'ai aussi étudié les points à l'infini, en homogénéisant la courbe : $F(X,Y,Z)=Y^2Z-X^2Z+Z^3$. Dans la carte $Z \ne 0$, on retrouve la courbe affine, dans la droite projective à l'infini $Z=0$, on obtient le point à l'infini : $(0:1:0)$, qui est la limite des points $(1-t^2 : t(1-t^2) : 1)$ quand $t \rightarrow \infty$, vu que la courbe affine est rationnelle et se paramètre en $ x=1-t^2, y=t(1-t^2)$.
Par contre, je ne saurais pas faire ce dernier raisonnement si la courbe n'est pas rationnelle.
Bref, intéressant.