La théorie de Morse-Kelley

Martial
Martial
Modifié (April 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous,
Je suis content d'avoir enfin une raison valable pour dé-désertifier ce sous-forum, qui est bien tristounet ces temps-ci. C'est à propos de la théorie de Morse-Kelley, que je noterai MK. Les détails sont ici
Notons $T_0$ la théorie ZFC + "il existe un cardinal fortement inaccessible". Dans les dernières pages on trouve une preuve (pour ainsi dire triviale,) du fait que si $\kappa$ est inaccessible, alors $(V_{\kappa}, \in, V_{\kappa +1}) \models MK$. En particulier $T_0 \vdash Cons(MK)$. Mais j'ai lu quelque part qu'on a aussi $T_0 \vdash Cons(MK + Cons(MK))$. Et là je ne vois pas quel argument utiliser. Je vais vous expliquer mes réticences.
1) Sympa : S'il existe dans $V$ deux cardinaux inaccessibles, disons $\kappa < \lambda$, aucun problème : $V_{\lambda} \models MK$ et, par absoluité de la notion d'inaccessibilité, l'habitant de $V_{\lambda}$ voit $\kappa$ comme un inaccessible, donc il sait que $V_{\kappa}$ est un modèle de MK. Maintenant, vu de chez nous, on sait que $V_{\lambda} \models MK + Cons(MK)$, donc on est assurés de $Cons(MK+Cons(MK))$.
2) Moins sympa : s'il existe dans $V$ un unique inaccessible $\kappa$, alors $V_{\kappa} \models MK$, certes, mais comment s'assurer du fait que $V_{\kappa}$ voit chez lui un modèle de MK ?
Si quelqu'un a une idée...
Merci d'avance
Martial

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Est-ce que tu ne peux pas raisonner ainsi ? (ça fait longtemps que j'ai pas fait ça alors tu me pardonneras si je dis une bêtise :-D )

    Si MK + cons(MK) est incohérente, alors tout modèle de MK est aussi un modèle de non cons(MK), en particulier $(V_\kappa, \in , V_{\kappa +1})$ est un modèle de ça. Seulement voilà, ça veut dire qu'il connait une preuve de non cons(MK), autrement dit il connait une preuve de 0=1 dans MK. 

    Mais s'il a une telle preuve, puisque ses entiers sont les mêmes que les nôtres (nous = un habitant de $T_0$) , on connait aussi cette preuve, et c'est aussi une preuve chez nous. (là j'utilise une forme d'absoluité, genre que les énoncés vrais dans $\omega$ selon $V_\kappa$ sont les mêmes que selon l'univers, j'espère que c'est vrai puisque $V_\kappa$ est transitif et qu'il ne se trompe ni sur les entiers ni sur $P(\omega)$, mais tu devrais vérifier). 

    C'est informel mais ça paraît raisonnable ? (en particulier, rien de spécial chez MK si je ne me trompe pas)
  • Martial
    Martial
    Modifié (April 2022)
    Merci beaucoup, Maxtimax. Ce que tu dis est tout à fait juste, et il n'y a pas de problèmes d'absoluité. Si tu as 2 minutes tu peux jeter un oeil à mon chap 24, pages 30/31. Si tu n'as que 30 secondes je te résume le business : on montre que si $\kappa$ est mondain (donc a fortiori s'il est inaccessible), alors $V_{\kappa}$ ne se trompe pas sur la prise de parties de ses éléments, ni sur les valeurs de la fonction $\beth$. En particulier on a les lemmes suivants.
    Lemme 29 : 1) $\forall a \in V_{\kappa}, (2^{a})^{V_{\kappa}} = (2^{a})^V$.
    2) $\forall a \in V_{\kappa}, (2^{a})^{V_{\kappa}} = (2^{a})^V$.
    Lemme 30 : si $\beth_{\alpha} \in V_{\kappa}$, alors $(\beth_{\alpha})^{V_{\kappa}} = (\beth_{\alpha})^V$.
    Juste un détail : quand tu écris que les énoncés vrais dans $\omega$ selon $V_{\kappa}$ sont les mêmes que chez nous, et que tu en déduis qu'on peut recopier dans $V$ la preuve de $0=1$ de MK, tu utilises de façon sous-jacente une arithmétisation de la syntaxe, c'est bien ça ?
    MERCI !!!
    P.S.  Juste pour le fun, tu pourras comparer la clarté de ta réponse avec la laconicité de celle d'un certain Asaf Karagila sur stackexchange : "Note that Con(MK) is a number-theoretic statement, which must be true in $V_{\kappa}$".
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pas de souci, je suis très content si mes quelques restes de logique peuvent t'aider :-D Pour ton détail, oui c'est exactement ce que j'utilise. Comme le dit Asaf  ( :p ) j'utilise implicitement que cons(MK) est un énoncé arithmétique, donc complètement écrivable/décidable dans $\omega$ avec $+,<$ etc. 

    Je suis d'ailleurs désolé de ne pas avoir le temps ces derniers temps de regarder ton livre en plus de détails, je suis un peu débordé par trop de projets :-D je passe la tête par le forum de temps en temps, mais c'est tout... 
  • Martial
    Martial
    Modifié (April 2022)
    Merci, je suis maintenant rassuré. Je vais maintenant pouvoir publier la preuve.
    C'est bien ce que je me disais aussi : ne te voyant plus que rarement j'en avais déduit que tu étais très pris par ailleurs. Si toutefois un jour tu trouves cinq minutes le chap 26 devrait t'intéresser. Il est plus ou moins indépendant du reste, et puis ça dépayse un peu de voyager dans une autre country que ZFC.
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