Estimation par maximum de vraisemblance

malavita
malavita
Modifié (April 2022) dans Statistiques
Bonsoir à tous,
 je dispose d'une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées, suivant une loi de densité $f:x \mapsto \frac{a}{2} e^{-a|x-b|}$ et j'aimerais trouver un estimateur par maximum de vraisemblance des paramètres réels $a$ et $b$.
Pour cela, j'ai posé $g(a,b)=f(x_1) \times \cdots\times f(x_n)$ et j'ai tenté de trouver les extrema de cette fonction par la méthode usuelle, si la dérivée partielle de $g$ en $a$ ne pose guère de problèmes... je n'obtiens rien de bon avec la dérivée partielle en $b$ à cause de cette satanée valeur absolue...
Si quelqu'un a une idée...
Bonne soirée
F.

Réponses

  • LOU16
    LOU16
    Modifié (April 2022)
    Bonsoir,
    Si j'ai bien compris, $x_1, x_2, \dots x_n $ étant des réels fixés rangés dans l'ordre croissant, il s'agit de déterminer les extrema de $$g:\:\: \R_+^*\times\R \to \R , \quad (a,b) \mapsto  \displaystyle \prod_{i=1} ^n a \mathrm e^{-a|x_i-b|}.$$
    Le minimum de $g$ est clairement égal à $0$ et n'est atteint en aucun point de $\R_+^*\times \R.$  Pour déterminer le maximum de $g$, il est commode de rechercher celui de $h = \log \circ g.\:\: $ Pour cela, on note:  $\quad h_b : a \mapsto h(a,b), \quad S: b \mapsto  \displaystyle \sum _{i=1}^n |x_i-b|.$
    $h_b(a) = n \log a -S(b)a.\quad$ Ainsi, le maximum de $h_b$ sur $\R_+^*$ est $\:\: M(b) = h_b\left(\dfrac n{S(b)}\right) =n \left( \log n -\log S(b) -1 \right).$
    $\max \Big\{ h(a,b) \mid (a,b)\in \R_+^*\times \R \Big \}= \max \Big \{M(b) \mid b \in \R \Big \}.\:\:$ Le maximum de $M(b)$ est atteint lorsque $S(b)$ est minimum.
    $S$ est une fonction continue sur $\R$, affine par morceaux, qui atteint son minimum en la valeur $\mu = x_{\lfloor (n+1)/2\rfloor} $ médiane des $x_i.$
    $$ \forall (a,b) \in \R_+^*\times \R, \quad g(a,b) \leqslant g\left (\dfrac n{S( \mu)} , \mu \right)$$
  • malavita
    malavita
    Modifié (April 2022)
    Bonsoir Lou16,
    merci de ta réponse j'avais trouvé un truc dans ce genre mais je pêchais à la rédaction et n'était pas très sur de mon résultat.
    Du coup si j'ai bien compris un estimateur par maximum de vraisemblance du paramètre $b$ est donc une valeur médiane des $X_i$ ?
    Disposant d'une estimation de $b$, celle de $a$ est alors $\frac{n}{S(b)}$ ?
    L'intérêt de cet exemple est donc de donner un exemple de loi pour laquelle estimateur par moments et estimateur par maximum de vraisemblance sont différents.
    Encore merci et bonne soirée
    F.
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