L'aire d'une sphère est la dérivée de son volume

Démonstrator
Démonstrator
dans Topologie
Y a-t-il une raison pour que l'aire d'une $n$-sphère, fonction de son rayon, soit la dérivée de son volume ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (April 2022)
    Bonjour
    Quand on augmente le rayon d'une sphère d'un chouïa dr, son volume augmente du volume d'une couche de surface la surface de la sphère et d'épaisseur dr.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Oui ! Si on note $B(0,r)$ la boule de rayon $r$, alors de quoi $B(0,r+h) - B(0,r)$ est-il le volume ? Intuitivement, que se passe-t-il quand on divise par $h$ et on fait tendre vers $0$ ?
  • Démonstrator
    Démonstrator
    @GaBuZoMeu
    Je ne sais pas le supprimer. Si vous savez faire, faites-le
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    Oui.
    Regarde la variation de volume quand le rayon varie.
    Cordialement.
    NB : J'ai interprété la question sous la forme "y a-t-il une façon de voir...". Car la question "Y a-t-il une raison pour que 2+2 égale 4 ?" n'a pas d'utilité.
  • Chaurien
    Chaurien
    C'est amusant ces justifications « à la physicienne ». Ce n'est pas vraiment rigoureux, mais ce n'est pas rien non plus. Ce qui fait que ça marche, c'est que toutes les droites passant par le centre sont orthogonales à la surface. La boule devient « équivalente » en un certain sens (?) à une hyperpyramide dont la base serait une région d'hyperplan, le sommet serait le centre de la boule et la hauteur serait le rayon. Visualiser les cas des dimensions 2 et 3. Comment rendre ça rigoureux ? Il faudrait d'abord préciser la notion d'aire d'une surface. Dommage que ces idées ne permettent pas de trouver les aires d'autres surfaces.
  • JLT
    JLT
    Soit $S$ la sphère unité de $\R^n$. C'est une variété riemannienne, son volume est bien défini. Soit $B_r$ la boule de $\R^n$ de rayon $r$. On considère $f:[0,1]\times S\to B_r$, $(t,x)\mapsto tx$. La jacobienne de $f$ au point $(t,x)$ est égale, au signe près, à $t^{n-1}$. D'après la formule du changement de variables dans les intégrales, on en déduit que le volume de $B_r$ est égal à $\frac{\sigma r^n}{n}$ où $\sigma$ est le volume de $S$.
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