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Systèmes différentiels -agreg interne, leçon 225

Modifié (2 Apr) dans Concours et Examens
Bonjour à tous,
je suis en train de travailler sur la leçon sur les systèmes différentiels et je n'arrive pas à trouver de développement autre que la résolution calculatoire d'un exemple (tout ce que je vois utilise la méthode de variation des constantes ou de la diagonalisation ou encore de la trigonalisation...).

Avez-vous d'autres idées qui permettraient de sortir des "sentiers battus" ?
Merci de votre aide...
Nono.
PS : bon courage à tous ceux qui préparent l'oral... en même temps il ne fait pas très beau, alors...

Réponses

  • Pense au théorème de Cauchy linéaire, tu peux parler d'exponentielle de matrices..., tout cela permet des développement certes classiques mais pas triviaux.

    Bon courage, gauss.
  • Sinon, sans entrer dans la résolution explicite, on peut faire de la description qualitative des solutions de certains systèmes, genre Lotka-Volterra.
  • Pour Gauss, parler de l'exponentielle de matrice pour l'exponentielle de matrice est-il hors-sujet ou cela serait-il vu comme un prolongement 'logique' de la leçon ?

    Pour Guego, qu'est-ce que le théorème de Lotka-Volterra ?

    Merci pour votre aide.

    Nono.
  • Bonsoir,

    A mon avis, ce n'est pas un hors sujet ni même un prolongement de la leçon, mais un passage obligé :
    Y' = AY + B où A est une matrice à coeff constant et B un vecteur colonne.

    Or les applications f: t-->e^(At) vérifie f'(t) = Af(t) = f(t)A
    De là, tu tires que les solutions de Y' = AY sont exactement les applications de la forme t-->f(t)U où U est un vecteur de K^n.

    Garde à l'idée qu' une matrice à coeff réels n'est pas souvent trigonalisable, et encore moins diagonalisable; donc résoudre un système diff ne peut se faire concrètement que dans des cas pratiques : le cas où l'on sait diagonaliser ou trigonaliser A.

    Je te conseille comme sources : Auliac, Monier, Gourdon et Demailly.

    Bon courage, gauss.
  • Merci Gauss pour ta réponse ; ma question était en fait de savoir si par exemple l'étude des propriétés de A donne exp(A) (convergence de la somme de la série, propriété 'fonctionnelle' dans le cas où les matrices commutent ... etc...) peuvent à elles seules faire l'objet de devpt car on peut alors très bien ne pas parler du tout de syst diff !

    Quel est ton avis ?

    Nono.
  • Salut,

    Non, un dvp ne peut se cantonner à ça, par contre ça doit être dit par oral où figurer brièvement dans ton plan.

    Moi, en dvp, je traiterai Cauchy linéaire, puis un exemple d'équa diff qu'on ramène à un système diff.

    Bon courage, gauss.
  • OK, merci pour tes éclaircissements, c'est parti pour Cauchy linéaire...

    A bientôt,

    Nono.
  • Pardon, je n'avais pas vu ta question : le système de Lotka-Volterra est un système 2x2 non linéaire, qui modélise les populations de deux espèces animales (les proies et les prédateurs). Il ne peut pas être résolu explicitement, mais on peut quand même montrer un certain nombres de propriétés qualitatives sur les solutions : elles sont définies sur $\R$, périodiques, on peut calculer la moyenne de chaque population sur une période etc.

    Une petite recherche sur google t'en dira (bien) plus.
  • Merci Guego pour ta réponse que je n'ai vue qu'aujourd'hui !!!

    Je cherche ça ...A bientôt.

    Nono.
  • Je remonte ce vieux post.
    Je ne me sens pas capable pas faire en développement la démonstration,de Cauchy linéaire.
    Mais résoudre un système est sans doute trop simple ou trop calculatoire?
  • Modifié (2 Apr)
    En dimension 2, dans le cas linéaire à coefficients constants, une petite typologie de l'allure des trajectoires en présence d'un point singulier : ça me paraît pas d'un niveau dingue (L2-L3) et je pense que le jury sera plus sensible à la production de figures et à l'interprétation qualitative (le lien spectre <-> allure des trajectoires illustre de manière convaincante le lien algèbre <-> géométrie), plutôt qu'à un calcul explicite complet sur un cas trop particulier.
    Réf:
    Analyse numérique et équations différentielles, Demailly
    Chap. X, paragraphe 2, sous-paragraphe 2.2

  • Pour l’exponentielle de matrice, c’est fait dans un des trois tomes du Chatterji.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Merci Magnéthorax, je vais regarder et voir si je comprends.

    Nicolas : pour l'exponentielle de matrice, tu parles de la démo?
  • Oui, en passant par les systèmes différentiels.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Merci Nicolas. Je n'ai pas le livre dont tu parles mais cela doit être dans pas mal de bouquins. comme le Dantzer mais là, c'est peut être trop simple?
  • Ça tient sur une page environ, de mémoire c’est vers la page 100 du tome sur les équations différentielles.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nono

    Je suggère la partie IV du problème de Centrale 2017 (filière Psi) qui porte sur la résolution de sytèmes différentiels X'(t)=A(t)X(t), avec une matrice A(t) périodique.

    https://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/2017/PSI/sujets/2016-015.pdf
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