Loi normale (leçon 249)

Durdur49
Durdur49
Modifié (April 2022) dans Concours et Examens
Bonjour
Auriez-vous une idée liée au développement de cette leçon ? Le théorème central limite est hors de ma portée, et mes autres idées sont un peu courtes. Pour le plan, j'ai utilisé le livre Escoffier.
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Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Modifié (March 2022)
    Et plus gênant dans un concours de maths : Théorème central limite. pas de centrale à gaz ici, ni de Centrale formant des ingénieurs, ni de centrale pénitentiaire, seulement un théorème qu'on trouve au centre de beaucoup de méthodes.
    Pour le contenu, ça dépend du concours (tu n'as pas précisé !). En tout cas, devant un jury, tu dois maîtriser ce que tu présentes. Mais aussi, même sans savoir le démontrer, maîtriser les usages de ce théorème.
    Cordialement.
  • Durdur49
    Durdur49
    Modifié (March 2022)
    Chaurien 
    Oui, oui. Merci pour la correction !
    Pour le concours, agreg interne.
    Pour le plan, enchaînement logique est TCL, puis Moivre-Laplace que l'on peut utiliser (la j'ai bon normalement...) pour démontrer l'intervalle de fluctuation asymptotique.
  • Dom
    Dom
    Peut-être que démontrer le théorème dans un cas particulier (loi particulière ?) est jouable. 
  • Chaurien
    Chaurien
    Sur la question posée, peut-être présenter des caractérisations de la loi normale ?
  • Durdur49
    Durdur49
    Je pense faire la démo du  th suivant
    Si X va suivant N(0;1) alors pour tout c de ]0;1[, il existe r>0 tq P(-r<=X<=r)=1-c
    Cette démo utilise le TVI, sur lequel on peut rebondir avec également sa dém.
    Puis enchaîner avec le résultat sur l'intervalle de fluctuation asymptotique.

  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Modifié (March 2022)
    Hello,

    Cela ne vend pas du rêve car ce n'est pas, loin s'en faut, propre à la loi normale centrée réduite. Plus spécifique : $X_1$ suit $N(\mu_1,\sigma_1)$ et $X_2$ suit $N(\mu_2,\sigma_2)$. Si $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, alors $X_1+X_2$ etc.
  • Dom
    Dom
    Je ne me rappelle plus, est-ce que Moivre-Laplace se démontre avec le programme de l’agrégation interne (sans fonction caractéristique par exemple) ?

    Attention en effet à s’engager dans des choses qu’on ne maîtrise pas.  
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Modifié (March 2022)
    Dans Pile ou Face de Lesigne, tu l'as niveau L1-L2. Pour que ça reste raisonnable comme développement, je supposerais connue une version améliorée de Stirling basique.
  • Durdur49
    Durdur49
    Modifié (March 2022)
    Magnéthorax a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2349365/#Comment_2349365
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je regarde ça. Merci
    Pour le rêve, déjà un miracle d'être à l'oral, alors...
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Modifié (March 2022)
    Ce que je voulais dire c'est que le phénomène est plutôt banal : il est assez facile de construire des tas de lois très différentes qui vérifient ça. Du coup, ça ne met pas vraiment en valeur la loi normale. C'est juste mon avis, ce n'est pas l'évangile.
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    J'essaie de trouver une réf qui introduit la loi normale à la manière de Laplace.
  • Amédé
    Amédé
    Il y a la fonction caractéristique de la loi normale aussi.
  • Lucas
    Lucas
    Modifié (March 2022)
    Bonjour
    Il y a quelque chose qui est une bonne idée à mettre dans le plan c'est le développement asymptotique de la queue de la gaussienne. Pour un développement il faut l'upgrader avec quelque chose d'autre (transformée de Laplace ?). C'est juste des IPP, tu peux regarder ici (Lemme 2.1 et Remarque 2.2) :
    Je ne trouve pas de livre niveau agreg qui le fasse.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (March 2022)
    Ce n'est pas pour polémiquer, c'est sincère, je ne connais pas le sens du mot « upgrader ».
    On y voit comment traduire la même idée en français, qui jusqu'à plus ample informé est notre langue, non ?
  • Guego
    Guego
    Modifié (March 2022)
    Dom a dit :
    Je ne me rappelle plus, est-ce que Moivre-Laplace se démontre avec le programme de l’agrégation interne (sans fonction caractéristique par exemple) ?
    Ça se fait, mais c'est très calculatoire, et donc bien casse-gueule si on doit le faire au tableau en public et en temps limité.
  • G.Letac
    G.Letac
    Modifié (March 2022)
    Il y a le chapitre 1 de Thèmes de probabilités et statistique, Paul Toulouse, Masson 1999,
    ''Les lois gaussiennes et le théorème central limite''
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Chaurien a dit :
    Ce n'est pas pour polémiquer, c'est sincère, je ne connais pas le sens du mot « upgrader ».
    Mettre à jour.
    Pour une fois, je suis d’accord avec Chaurien.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    Une propriété qui se traite élémentairement, et qu'on voit moins souvent peut-être.
    $\bullet $ On pose : $h(x)=-x\ln x$ pour $x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }$, et $h(0)=0$. On définit ainsi une fonction $h$ continue sur $\mathbb{R}_{+}$. L'entropie d'une variable aléatoire réelle  $X$ de densité $f_{X}$ est définie par : $H(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }h(f_{X}(x))dx$, si cette intégrale converge.
    $\bullet $ Soit une variable aléatoire réelle $Y$, admettant une densité $f_{Y}$ continue sauf au plus en un nombre fini de points, et admettant une espérance $m$ et un écart-type $\sigma >0$, donnés. L'entropie de $Y$ est maximum si  $Y$ suit la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma ^{2})$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.




  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Autres idées : loi d'une somme de carrés de var iid suivant $N\left(0,1\right)$, simulation de $N\left(0,1\right)$ à partir de $U\left(\left[0,1\right]\right)]$
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