J'aimerais tant voir Syracuse

Sneg · March 2022

[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre.

Je le rétablis. AD]
----------------------------------------------------------------------------------------

À quiconque tombera sur ce message rétabli par décision de la modération, prière de n’y accorder aucune attention. Il ne présente aucun intérêt mathématique. D’où la demande que j’avais faite de supprimer ce fil qui s'appelait initialement "Querelle d'amoureux". Demande refusée, apparemment. Dommage.
Cela dit, suite à un regroupement de mes messages fait encore une fois par la modération, on trouvera un peu plus bas dans ce fil le message suivant J'aimerais tant voir Syracuse — Les-mathematiques.net qui pourrait intéresser. Sait-on jamais ?

Bonjour,

Pour les amateurs de la conjecture de Syracuse, voici une petite histoire mettant à nouveau en scène Alice et Bob.

Avant-propos :

Voici la suite de Syracuse du nombre $14$ :

$14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, \cdots$

Je dis que le nombre $14$ génère une suite de Syracuse comptant dix-sept étapes.
Je pourrais dire aussi que le nombre $14$ génère une suite de Syracuse comptant, par exemple, plus de dix étapes.

L'histoire :

Alice regarda malicieusement Bob dans les yeux et lui dit : Bob, dis-moi un nombre !

Bob : Dix.

Alice : Je peux trouver un nombre générant une suite de Syracuse comptant plus de dix étapes.

Bob : Ce n'est pas bien difficile. Moi aussi je peux le faire !

Alice : Tu as raison. Choisis un nombre beaucoup plus grand.

Bob : Un million.

Alice : Encore une fois, je peux trouver un nombre générant une suite de Syracuse comptant plus d'un million d'étapes. Donne-moi donc un nombre beaucoup, beaucoup, plus grand.

Bob : Neuf cents milliards de milliards !!!

Alice : En fait, Bob, je peux facilement te donner un nombre générant une suite de Syracuse comptant un nombre d'étapes plus grand que n'importe quel nombre choisi arbitrairement.

Bob : Et tu peux le prouver ?

Alice : Oui.

Bob : Ce n'est pas possible !

Alice : Mais, si ! C'est possible !

Lecteur, lectrice, de quel côté vous rangez-vous ? Du côté d'Alice ou du côté de Bob ?

Merci.

Dom · March 2022

Si j’ai bien compris, $2^{21}$ contient $20$ étapes.
Puis $2^{N+2}$ contient plus de $N$ étapes.

Mais peut-être suis-je à côté de la plaque.

i.zitoussi · March 2022

C'est un exercice sur les quantificateurs ?

"Pour tout $m\in \N$, il existe $n\in\bf N$ telle que la suite de Syracuse partant de $n$ contient plus d'étapes que celle partant de $m$". Vrai: cf le message de Dom, en prenant $n=2^N$ avec $N$ assez grand.

"Il existe $n\in\N$ tel que pour tout $m\in\bf N$ la suite de Syracuse partant de $n$ contient plus d'étapes que celle partant de $m$". Faux, cf le poste de Dom.

Les deux énoncés sont incompatibles. Alice! Quand même!

i.zitoussi · March 2022

...Tout ça sous-entend que tout $n\in N$ itère vers $1$, ce qui reste à prouver.

Sneg · March 2022

[Message effacé.]

Sneg · March 2022

Finalement, laissez tomber.
Mauvaise idée.
Merci à vous.
Est-ce que la modération pourrait supprimer ce fil ? Merci d’avance.

i.zitoussi · March 2022

Ne t'inquiète pas pour les questions qui tombent à plat. J'ai fait au moins "aussi pire que toi", et même plus encore. Tant que tu ne persistes pas dans ta [...], je pense que ça passe.

Sneg · March 2022

Merci, i.zitoussi.
Et merci à Dom aussi.

Sneg · March 2022

Bonjour,
Aux amateurs de la conjecture de Syracuse, je propose le petit jeu suivant :

Dans cette conjecture, le nombre initial $60.466.175$ génère la suite que voici :

60.466.175
181.398.526
90.699.263
272.097.790
136.048.895
408.146.686
204.073.343
612.220.030
306.110.015
918.330.046
459.165.023
1.377.495.070
688.747.535
2.066.242.606
1.033.121.303
3.099.363.910
1.549.681.955
4.649.045.866
2.324.522.933
6.973.568.800
3.486.784.400
$\vdots$

Je dis de cette suite qu'elle commence par $9$ nombres impairs suivis, chacun, par un seul et unique nombre pair, le $10$-ième nombre impair de cette suite étant suivi, lui, par au moins deux nombres pairs.

Dans le jeu que je propose ici, il s'agit d'exhiber un nombre initial impair générant une suite de Syracuse commençant par $999.999.999$ nombres impairs suivis, chacun, par un seul et unique nombre pair, le milliardième nombre impair de cette suite étant suivi, lui, par au moins deux nombres pairs.

Choisir un nombre (pair) pour faire "descendre" aussi longtemps que l'on veut une suite de Syracuse n'a évidemment rien de difficile. En revanche, trouver un nombre (impair) pour faire "monter" aussi longtemps que l'on veut une suite de Syracuse me semble beaucoup moins facile. A moins que vous ne connaissiez une méthode. On va vite le savoir.

Merci d'avance.

lourrran · March 2022

Regarde les suites qui commencent par ces nombres : $2^{10}-1$ , $2^{11}-1$, $2^{12}-1$, $2^{13}-1$, etc, etc , et tu devrais pouvoir arriver à une conclusion.

Sneg · March 2022

En effet, Lourrran, j’arrive à la conclusion que tu connais un moyen de répondre à la question posée.
Bravo pour ta rapidité et merci pour ton intervention.

Dom · March 2022

Écrire les énoncés de manière quantifiée est un bon exercice.

Je m’interroge sur la manière de romancer ces choses là. Ce n’est pas une critique frontale, cela dit. Juste une interrogation.

Sneg · March 2022

Bonjour, Dom.

Un jour, je posterai ma solution avec sa preuve, de façon à ce que les mathématiciens puissent évaluer mes progrès (?) en mathématiques. Sans verbiage.

Bon dimanche.

raoul.S · March 2022

Tous les résultats élémentaires sur Syracuse on été dit et redit. Pour cette question particulière nodgim avait déjà répondu : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2147578/#Comment_2147578

Sneg · March 2022

Merci pour ton intervention, raoul.S.
Ça ne m’étonne pas de nodgim, dont au passage je m’inquiète encore et toujours de l’absence prolongée.
Je soumettrai quand même ma démonstration à votre appréciation. J’y tiens.