Approche timide (mais obstinée) d'un embryon de géométrie projective

1. On appelle multiplication barycentrique le fait de multiplier les coordonnées entre elles, étage par étage. C'est un procédé descriptif commode (surtout quand on ne sait pas pourquoi une formule est valable). On a donc, en effet, \[ P\simeq D\bmul E\bmul\tra{\left(D\wedge E\right)} \]
2.  Lorsque $\boxed{ABC}\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & c\\ 0 & b & d\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$, on passe des coordonnées cartésiennes homogènes aux coordonnées barycentriques en multipliant par $\boxed{ABC}^{-1}$. Cela s'appelle la " formule générale des changements de base" .
   
3.  Tu veux une explication de pourquoi  \[ \tra{\left(\begin{array}{c} cf-de\\ be-af\\ ad-bc \end{array}\right)}\cdot\left(\begin{array}{c} bg-ah\\ dg-ch\\ fg-eh \end{array}\right)=0 \] La meilleure explication conceptuelle est: kakeu. On développe et cela fait 0. Mais on peut aussi plonger tout cela dans un bain de gaz stratosphérique. On a  \[ \tra{\left[\begin{array}{ccc} d-f & e-c & cf-de\\ f-b & a-e & be-af\\ b-d & c-a & ad-bc \end{array}\right]\cdot}\left[\begin{array}{ccc} h-b & a-g & gb-ah\\ h-d & c-g & gd-ch\\ h-f & e-g & gf-eh \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -h\\ -1 & 0 & g\\ h & -g & 0 \end{array}\right]\times\det\left[\begin{array}{ccc} a & c & e\\ b & d & f\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \] Et comme la matrice $\boxed{\wedge E}$ est antisymétrique, on a $\Delta\cdot\boxed{\wedge E}\cdot\tra{\Delta}=0$ pour toute droite $\Delta$, y compris la droite de l'infini. Et donc \[ \left(\linf\cdot\tra{\left[\begin{array}{ccc} d-f & e-c & cf-de\\ f-b & a-e & be-af\\ b-d & c-a & ad-bc \end{array}\right]}\right)\cdot\left(\left[\begin{array}{ccc} h-b & a-g & gb-ah\\ h-d & c-g & gd-ch\\ h-f & e-g & gf-eh \end{array}\right]\cdot\tra{\linf}\right)=0 \]
4.  Trouver l'équation d'une " conique cinq points" , cela revient à trouver les $m_{jk}$ tels que  \[ m_{11}\,x^{2}+m_{22}\,y^{2}+m_{33}\,z^{2}+m_{12}\,xy+m_{13}\,xz+m_{23}\,yz=0 \] se vérifie pour les $5$ points donnés. Cela revient à dire que l'on cherche la colonne $\mathrm{col}\left(m_{jk}\right)$ dont les produits par les lignes $\left[x^{2},y^{2},z^{2},yz,zx,xy\right]$ soit nuls. On sait faire cela: on écrit les 5 fonctions conifiantes et on en prend les 6 cofacteurs. Pour trouver l'équation d'un " cercle trois points" , on utilise la " fonction circulante" appropriée, par exemple  \[ \left[x,y,z,\frac{a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy}{x+y+z}\right] \] si l'on travaille en barycentriques. Le nom officiel de ces fonctions est: plongement de Veronese. Pour les cercles, le bénéfice est spectaculaire: l'action d'une homographie® du plan projectif complexe (cuisinée à la sauce Cremona) se traduit par une action linéaire sur les Veronese des cycles. Ce n'est pas pour rien qu'un faisceau de cercles est un faisceau linéaire.
5. Application numérique (en cartésien, puis en barycentriques). Comme les coordonnées sont numériques et simples, la meilleure méthode pour prendre les cofacteurs est de calculer froidement le déterminant. \[ \left[\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 5\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 2\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\right]\mapsto\left[\begin{array}{cccccc} x^{2} & y^{2} & z^{2} & xy & zx & zy\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 25 & 0 & 1 & 0 & 5 & 0\\ 4 & 4 & 1 & 4 & 2 & 2\\ 25 & 4 & 1 & 10 & 5 & 2\\ 4 & 1 & 1 & -2 & 2 & -1 \end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -5\\ -1 & 6 & -1\\ -5 & -1 & 0 \end{array}\right] \] \[ \left[\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} +3\\ -3\\ -5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 9\\ 6\\ -5 \end{array}\right)\right]\mapsto\left[\begin{array}{cccccc} x^{2} & y^{2} & z^{2} & xy & zx & zy\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 9 & 9 & 25 & -9 & -15 & 15\\ 81 & 36 & 25 & 54 & -45 & -30 \end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{ccc} 0 & 25 & 12\\ 25 & 0 & 27\\ 12 & 27 & 0 \end{array}\right] \] Et, bien entendu, \[ \tra{\left[\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\cdot}\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -5\\ -1 & 6 & -1\\ -5 & -1 & 0 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\simeq\left[\begin{array}{ccc} 0 & 25 & 12\\ 25 & 0 & 27\\ 12 & 27 & 0 \end{array}\right] \] 

pldx1 a dit: Passons maintenant au point gudulique $G_u$. Pappus nous propose de l'appeler $\Omega$ pour le démesurer. Cela ne change rien au fait que la tripolaire de $G_u$ passe par $P$ puisque $G_u\in coniP$ et que  la même tripolaire de $G_u$ passe par $K$ puisque $G_u\in coniK$. On en déduit que $\trip {G_u}=P \wedge K$ fournissant les coordonnées de $G_u$. 

baryP = Invert[mABC] * {{x(ptgP)}, {y(ptgP)}, {1}}
U = Barycenter[{A,B,C}, {baryP(1,1)*p/a^2, baryP(2,1)*q/b^2, baryP(3,1)*r/c^2}]

"Formally, this point is   $isotom(P \wedge K)$".