Continuité réciproque application linéaire
Bonjour,
En dimension finie, on sait que toutes les applications linéaires sont continues.
Soient (E, N) et (V, M), 2 e.v.n. de dimension finie et f une application linéaire de E -> V admettant une réciproque g de V->E
N et M étant les normes de ces e.v.n.
f et g sont continues (dimension finie)
J'ai essayé de montrer la continuité de g sans utiliser "en dimension finie, toute les A.L. sont continues" et j'ai échoué.
Je pensais m'en sortir avec une contradiction en attaquant comme ceci :
Si g n'est pas continue, pour tout K > 0, il existe y tel N(g(y)) >= K M(y)
mais malheureusement, on n'arrive à aucune contradiction en posant x = g(y) vu que l'inégalité se retrouve dans le bon sens à savoir que f continue implique qu'il existe A > 0 tq pour tout x de E on a M(f(x)) <= A N(x)
Quelqu'un pour m'aider à prouver la continuité de la réciproque avec une autre approche ?
Merci
Question suivante : généralement la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue. Cela est-il toujours le cas pour les A.L. en dimension infinie ?
En dimension finie, on sait que toutes les applications linéaires sont continues.
Soient (E, N) et (V, M), 2 e.v.n. de dimension finie et f une application linéaire de E -> V admettant une réciproque g de V->E
N et M étant les normes de ces e.v.n.
f et g sont continues (dimension finie)
J'ai essayé de montrer la continuité de g sans utiliser "en dimension finie, toute les A.L. sont continues" et j'ai échoué.
Je pensais m'en sortir avec une contradiction en attaquant comme ceci :
Si g n'est pas continue, pour tout K > 0, il existe y tel N(g(y)) >= K M(y)
mais malheureusement, on n'arrive à aucune contradiction en posant x = g(y) vu que l'inégalité se retrouve dans le bon sens à savoir que f continue implique qu'il existe A > 0 tq pour tout x de E on a M(f(x)) <= A N(x)
Quelqu'un pour m'aider à prouver la continuité de la réciproque avec une autre approche ?
Merci
Question suivante : généralement la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue. Cela est-il toujours le cas pour les A.L. en dimension infinie ?
Réponses
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Je pense qu'on ne peut rien dire en général. Dans le cas d'un espace de Banach, il y a le théorème d'isomorphisme de Banach.
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C’est le théorème de l’application ouverte dans un espace de Banach.
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Bonjour,
Un exemple d'application linéaire continue bijective, de réciproque non continue est donné par l'identité de $(\mathcal{C}([0,1],\Bbb R),\|.\|_\infty)$ vers $(\mathcal{C}([0,1],\Bbb R),\|.\|_1)$. -
Merci Cali pour cet exemple. Pas besoin de se fouler effectivement, l'identité, deux normes non équivalentes et le tour est joué.
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La remarque de Calli (dont le caractère classique n'a pas attendu la naissance de Calli) suggère que ta première question est peut-être un peu sans espoir, pour la raison suivante : montrer qu'en dimension finie toute application linéaire est continue et donc, si elle est bijective, bicontinue, cela implique l'équivalence de toutes les normes.
-
Oui, j'ai bien compris que si c'était faux en dimension infinie, il faudrait forcément utiliser le côté dimension finie dans la démonstration et cela reviendrait à utiliser les mêmes éléments que je voulais éviter. J'aurai dû poser uniquement la seconde question. Dans tous les cas, merci à tous les intervenants.
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