Champ de vecteurs
Bonjour, je suis bloqué sur la question suivante.
Soit $M$ une variété différentielle. Soit $p \in M$ Soit $X : M \mapsto TM$ un champ de vecteur tel que $X_p \neq0$
(ici $X_p$ est tel que $X(p)=(p,X_p)$ et $X_p \in T_pM$)
Montrer qu'il existe un système de coordonnées locales $(x^i)$ dans un voisinage de $p$ tel que $X= \partial_{x^1}$
Merci pour vos réponses.
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Réponses
Bonjour @GaBuZoMeu merci pour ta réponse.
Je ne sais pas si j'ai bien compris ton indication, tu veux dire que comme on est dans une variété j'ai une carte au voisinage du point $p$
donc un homéomorphisme local entre un ouvert de ma variété et un ouvert de $\R^n$ donc je peux faire l'identification?
Mais c'est une identification quand on voit $\R^n$ comme espace topologique et non comme espace vectoriel ? (je suis un peu perdu avec les identification).
comme $X_p \neq 0$ j'ai montré ci-dessus qu'il existe un voisinage ouvert $V$ de 0 tel que $\beta$ est un difféormorphisme de $V$ dans $\beta(V)$
donc $\beta(V)$ est un ouvert de $M$
je peux donc construire une sous variété ouverte de dimension 1 de $M$ qui est $\beta(V)$ en munissant $\beta(V)$ du système de coordonnées globales
$(\beta(V), \beta^{-1})$ (avec $\beta^{-1} : \beta(V) \mapsto V$) c'est clairement un atlas maximal donc c'est l'unique façon de munir $\beta(V)$ d'une structure de variété différentielle.
Or comme $\beta(V)$ est une sous variété de $M$ en particulier il existe un système de coordonnée $(x^i)$ de M au voisinage de p adapté à $\beta(V)$ donc tel que
$\beta(V) = \cap_{i>1} ({x^i})^{-1}(\{0\})$.
Par unicité de l'atlas maximal de $\beta(V)$ on a $x^1=\beta^{-1}$.
Par l'égalité entre la courbe et $X$
On a $X$ est un champ de vecteur sur $\beta(V)$ (qui est une variété de dimension 1) donc $X=X^1 \partial_{x^1}$ et par les calculs précédents $X(\beta^{-1})=1$ d'ou $X=\partial_{x^1}$