$f$ définie par $f(x)=x \sin( 1/x)$ a une infinité de zéros et l'intérieur de cet ensemble de zéros est vide, car les zéros sont des points isolés, espacés, on ne pourra jamais inclure une boule de n'importe quel rayon strictement positif à l'intérieur.
Une fonction $g$ tel que $g' \geq 0$ et tel que la dérivée s'annule qu'un nombre fini de fois est strictement croissante. J'ai en effet oublié quelque chose.
Si il est résolu. Bisam a dit que j'avais faux mais il a mal lu les hypothèses de l'exercice, mon changement de variable est correct et $F$ est bien strictement croissante et bijective sur $[a,b]$.
Je n'ai pas mal lu l'énoncé : c'est toi qui l'a mal interprété !
Un ensemble peut être à la fois d'intérieur vide et infini. Tu as cru à tort que l'ensemble des zéros de la fonction $f$ était fini... ce n'est pas moi qui me trompe... et @jmf t'a fait exactement la même remarque ! On t'a même donné chacun un contre-exemple (celui de @jmf ne respectant pas la positivité... mais ce n'est pas ce qu'il voulait prouver).
Réponses
1) On peut dire que $f$ est constante sur $]a,b[$ égale à $f(a)=f(b)$.
2) Si $F'$ ne s'annule sur aucun sous-intervalle de $]a,b[$ alors $F'$ s'annule qu'un nombre fini de fois.
Je ne sais pas exactement quel résultat tu veux démontrer @jmf
$f$ définie par $f(x)=x \sin( 1/x)$ a une infinité de zéros et l'intérieur de cet ensemble de zéros est vide, car les zéros sont des points isolés, espacés, on ne pourra jamais inclure une boule de n'importe quel rayon strictement positif à l'intérieur.