Dimension d'un espace projectif = variété topologique

Julia Paule · March 2022

Bonjour,

Mon cours affirme que l'espace projectif $\mathbb {P^2(C)}$ est une variété topologique de dimension $4$. Voici la définition de cette notion que je ne connaissais pas : https://fr.wikipedia.org/wiki/Variété_topologique.

1) comment le montrer ? On peut construire une application continue du quotient $\mathbb {C^3} \setminus \{(0,0,0) \} / \sim$ dans $\mathbb {R}^4$ : un point de l'espace projectif est dans une carte affine, on a un homéomorphisme de cette carte $\cong \mathbb {C^2}$ dans $\mathbb {R}^4$, mais cela ne fournit pas un voisinage dans $\mathbb {P^2(C)}$ homéomorphe à un ouvert de $\mathbb {R}^4$.

2) par ailleurs, on a la notion de dimension d'un espace projectif : $\dim \mathbb {P}(E) := \dim (E) -1$, où $E$ est un espace vectoriel de dimension finie. Donc par définition $\mathbb {P^2(C)}$ est de dimension $2$ (par rapport à $\mathbb {C}$), il viendrait qu'il est de dimension $4$ (par rapport à $\mathbb {R}$).

Existe-t-il un lien entre ces deux définitions ?

Je crois que je m'embrouille pour rien ou pas grand'chose.

Merci d'avance.

Maxtimax · March 2022

1) Non, tu ne construis pas une application de $\mathbb P^2(\mathbb C)$ dans $\mathbb R^4$, tu le fais localement, mais ces trucs locaux ne se recollent pas (c'est tout l'idée d'une variété ! localement ça ressemble à $\mathbb R^n$, mais a priori pas moyen de recoller).

Je te suggère, en exercice (et en version plus simple) de regarder ce qui se passe pour le cercle $S^1$: c'est une variété de dimension $1$, i.e. il est localement homéomorphe à $\mathbb R$, mais tu vas avoir du mal à trouver une application $S^1\to \mathbb R$ qui en témoigne partout.

Pour $\mathbb P^2(\mathbb C)$, voilà ce que tu fais: exactement ce que tu as fait ! Tu dis "un point de l'espace projectif est dans une carte affine, qui est homéomorphe à $\mathbb R^4$". Bah, c'est bon, tu as fini : ça veut dire quoi "est dans une carte affine ?" . Ca veut dire "est dans un des ouverts qu'on a décidé d'appeler une carte affine". Donc cette carte, c'est ton voisinage dans $\mathbb P^2$ !

2) Bah il est de dimension $4$ au sens de $\dim E -1$, et au sens de "localement isomorphe à $\mathbb R^4$", donc oui, il y a un lien: elles sont équivalentes (modulo ce passage de $\mathbb C$ à $\mathbb R$)

Maxtimax · March 2022

(l'exemple de $S^1$ est très similaire, puisque $S^1\cong \mathbb P^1(\mathbb R)$ )

Julia Paule · March 2022

Désolée pour le retard. Merci beaucoup, c'est tout simple, l'ouvert affine (un des) qui contient le point est homéomorphe à $\mathbb C^2$, lui-même homéomorphe à $\mathbb R^4$.

Dimension d'un espace projectif = variété topologique

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